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Como calcular qualquer raiz sem calculadora

Fala, pessoal!

Neste artigo, vou ensinar uma maneira muito prática para calcular uma excelente aproximação para a raiz n-ésima de um número p qualquer

O método que mostrarei a seguir é um caso particular do Método de Newton-Raphson.

Vamos começar com a raiz quadrada para que você possa entender o método. Adaptando o método de Newton-Raphson, obtemos que a raiz quadrada de p pode ser aproximada por:

Na fórmula acima, x é uma aproximação qualquer para a raiz quadrada de p. 

Exemplo 1: Calcular uma aproximação para √405,4.

Ora, sabemos que √400=20. Assim, podemos usar 20 como uma aproximação inicial para √405,4, ou seja, x = 20. Ficamos com:

Na calculadora, observamos que o valor exato é 20,13454742… . Obtivemos uma excelente aproximação!!!

Exemplo 2: Calcular uma aproximação para √193. 

Ora, sabemos que 142 = 196. Logo, podemos usar x = 14 como aproximação inicial.

Mais uma excelente aproximação!!! Na calculadora, tem-se que √193 = 13,89244399… .

Vamos agora generalizar. Utilizando o método de Newton-Raphson, fiz uma adaptação para obtermos excelentes aproximações para raízes de qualquer índice. A fórmula é a seguinte:

Na fórmula acima, x é uma primeira aproximação para a raiz procurada.

Vamos fazer alguns exemplos para praticar.

Exemplo 3: Calcular uma aproximação para 

Ora, sabemos que 63 = 216. Logo, podemos utilizar x = 6 para calcular a aproximação. Temos ainda que n = 3 e p = 237. Ficamos com:

Na calculadora, obtém-se o valor exato de 6,18846…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,09%.

Exemplo 4: Calcular uma aproximação para

Sabemos que 27 = 128. Logo, podemos utilizar x = 2 para calcular a aproximação.

Na calculadora, obtém-se o valor exato de 2,0278…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,05%.

Veja que o caso anterior da raiz quadrada é apenas um caso particular dessa fórmula geral em que n = 2.

Espero que tenham gostado!

Um forte abraço,

Guilherme Neves

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Veja os comentários
  • Você é incrível mestre. Te pedi isso pelo insta e você ainda fez um artigo!!! Sou seu fã!
    Gabriel Laranjeira em 23/06/20 às 19:22
  • Muito obrigada pela explicação! Muito útil.
    Bianca em 22/06/20 às 00:40
  • Oi, Ana! Tem que ir multiplicando mesmo. Abraços, Guilherme Neves
    Guilherme Neves em 21/06/20 às 12:28
  • Muito bom!
    Avelino em 21/06/20 às 11:29
  • Maravilhoso, professor. Tornou simples uma expressão que parecia cansativa. Adorei.
    Socorro Luz em 21/06/20 às 11:13
  • Nossa que explicação!!!!, quem me dera se nas explicações do meu curso de ,Engenharia elétrica ,fosse assim !!! parabéns professor!!!
    LEANDRO DE MOURA SILVA em 21/06/20 às 09:40
  • Gostei muito dessa explicação, mas queria fazer uma pergunta: 2 elevado a 7 potência, o cálculo é pela calculadora ou ir fazendo 2x2.... e assim por diante? Existe uma outra maneira de calcularmos?
    Ana em 21/06/20 às 09:27
  • Excelente! Professor Cleiber Rocha Porto Alegre
    Cleiber Rocha em 20/06/20 às 21:02