Saiba tudo sobre conectivos lógicos

Saiba tudo sobre conectivos lógicos.

Olá pessoal, tudo bem?

Atualmente é muito comum os concursos cobrarem além do raciocínio matemático também o raciocínio lógico. Embora seja decorrente da própria interpretação de texto, é importante que o candidato entenda seus conceitos técnicos e saibam aplicá-los ao questionamento.

Assim, vamos passear pelos conceitos mais importantes do raciocínio lógico e aprender sobre análise através dos conectivos lógicos. Mas, antes de mais nada, precisamos trabalhar com algumas definições básicas.

Proposições

As proposições são declarações que podemos atribuir um valor lógico, que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F). Note que não é qualquer frase que atende a esse quesito, ou seja, nem toda frase é uma proposição.

Proposições geralmente são frases afirmativas ou negativas, desde que não ambíguas ou paradoxais. Frases interrogativas ou optativas (exprimem desejo), por exemplo, também não possuem essa característica de poder serem categorizadas como verdadeira ou falsa.

Tabela-verdade

É uma tabela que relaciona todas as possíveis combinações de valores das proposições e facilita suas operações lógicas. Caso haja apenas uma proposição, só há duas possibilidades: ela ser verdadeira ou falsa (V ou F).

Caso haja duas proposições, teremos 4 possibilidades: ambas verdadeiras (V e V); primeira verdadeira e segunda falsa (V e F); primeira falsa e segunda verdadeira (F e V); ambas falsas (F e F). Ao serem feitas todas as combinações possíveis entre as proposições, pode-se notar que a quantidade de combinações resulta em 2ⁿ (sendo n o número de proposições).

Unindo esses dados em uma tabela, obteremos a tabela verdade:

Negação: conectivo NÃO (~ ou ¬)

Embora comumente chamado de conectivo (ou conectivo unário) a negação não conecta duas proposições, apenas nega a afirmação inicial. Assim, a negação inverte o valor lógico da proposição (se era V passa a ser F e vice-versa).

Ex.: se a proposição é p: Paulo viajou, a negação de p será ~p: Paulo não viajou.

A tabela-verdade da negação basta inverter todos os valores V para F e os valores F para V. Assim, teremos:

Conjunção: conectivo lógico E (/\)

A conjunção de duas proposições determina que ambas assumam o valor V para que o resultado também seja verdadeiro. Quando traduzimos para a linguagem de conjunto, a conjunção corresponde à interseção entre os conjuntos analisados.

Se, por exemplo, uma pessoa afirma que “trabalha E estuda”, só estará dizendo a verdade se ela realmente fizer os dois. Note que se ela só trabalhar, só estudar ou não fizer nenhum dos dois, não poderá dizer que “trabalha e estuda”.

Tabela-verdade

Na tabela-verdade da conjunção, somente resulta em V quando as duas proposições são verdadeiras.

Disjunção inclusiva: conectivo lógico OU (\/)

A disjunção inclusiva de duas proposições estabelece que o resultado só será F se ambas forem F. Em outras palavras, o resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições forem verdadeiras. Podemos relacionar com a união de conjuntos.

Se, por exemplo, uma pessoa afirma que “come arroz OU feijão”, não estará mentindo se comer apenas um dos dois ou mesmo se comer ambos. Note que uma afirmação não invalida a outra (a pessoa pode comer os dois) e que só será falsa se ela não comer nem um nem outro.

Tabela-verdade

Na tabela-verdade da disjunção inclusiva, somente resulta em F quando as duas proposições são falsas.

Disjunção exclusiva: conectivo lógico OU…OU…( $\frac{V}{ }$)

A disjunção exclusiva, como o próprio nome indica, exclui uma das alternativas, ou seja, se optar por uma, a outra deverá ser desconsiderada. Isso significa que o resultado só será V se apenas uma delas for V.

Se, por exemplo, uma pessoa afirmar “na segunda-feira, viajarei para o Japão OU para o Canadá”, não há a possibilidade de que ela viaje para os dois lugares, logo uma alternativa exclui a outra. Note que a afirmação só será verdade se ela viajar para um ou para o outro lugar, nunca para ambos ou nenhum deles.

Na linguagem de conjuntos, seria o equivalente à união dos conjuntos subtraindo a sua interseção. A tabela verdade da disjunção exclusiva assume o valor F quando as proposições tem valores iguais (V e V ou F e F).

Condição (implicação): conectivo lógico SE…ENTÃO… (→)

Uma proposição condicional estabelece uma relação em que a primeira é condição suficiente para a segunda. Note que até agora esse é diferente dos demais conectivos lógicos porque a ordem em que as proposições aparecem faz diferença.

Se, por exemplo, se alguém afirmar “SE fizer sol, ENTÃO vou à praia”, podemos fazer a seguinte análise:

• Se fez sol e ele foi à praia, a afirmação então é verdadeira (V);
• Se fez sol e ele não foi à praia, a afirmação é falsa (F);
• Se não fez sol e ele foi à praia, a afirmação é verdadeira (V). Note que afirmar que “se fizer sol, vou à praia” não é equivalente a dizer que “se não fizer, não irei”, visto que a afirmação inicial não foi “somente se fizer sol, vou à praia”.
• Se não fez sol e ele não foi, a afirmação é verdadeira (V).

Tabela-verdade

A tabela-verdade da condicional somente será F e a primeira for verdadeira e a segunda falsa (V e F, nessa ordem):

p → q : repare que p é condição SUFICIENTE para q (basta p acontecer para que q aconteça). Já q é condição NECESSÁRIA para p (se q não acontecer, p não acontece).

Por exemplo: “Se Paulo é carioca, então Paulo é brasileiro”.

p: Paulo é carioca

q: Paulo é brasileiro

Paulo ser carioca já é condição suficiente para ser brasileiro. Paulo ser brasileiro é condição necessária para ser carioca (não tem como ser carioca sem ser brasileiro).

Proposição bicondicional (dupla implicação): conectivo lógico SE, E SOMENTE SE ()

A dupla implicação ocorre quando as duas proposições são necessárias e suficientes mutuamente para que ocorram. Somente será verdadeira se ambas forem verdadeiras ou ambas falsas.

Se, por exemplo, uma pessoa afirmar “viajarei SE, E SOMENTE SE, receber meu salário”, a afirmação estará correta se ela “receber e viajar” e se ela “não receber e não viajar”. Qualquer coisa diferente disso, a afirmação será falsa.

Tabela-verdade

Na tabela-verdade da bicondicional, só será V se ambas forem V ou ambas F.

Como conectivos lógicos caem na prova

Vamos pegar como exemplo essa questão da banca VUNESP de 2018.

Considere verdadeiras as afirmações a seguir:
• Luiza possui um gato.
• Henrique gosta de observar patos.
• Rafael não tem bicicleta.
• Tiago não gosta de comer macarrão.
A partir dessas afirmações, é logicamente verdadeiro que:
(A) Ou Luiza possui um gato ou Tiago não gosta de comer macarrão.
(B) Se Henrique gosta de observar patos, então Luiza possui um gato e Tiago gosta de comer macarrão.
(C) Se Luiza possui um gato, então Rafael tem bicicleta.
(D) Rafael tem bicicleta ou Henrique gosta de observar patos.
(E) Tiago não gosta de comer macarrão e Henrique não gosta de observar patos.

Resposta:

Se as afirmações iniciais são verdadeiras, suas negações são falsas. No mais, vamos analisar as alternativas.

1. O duplo OU presente na afirmação é característico da disjunção exclusiva. Sabemos que “Luiza tem um gato” e “Tiago não gosta de comer macarrão” são verdadeiras e quando duas proposições são verdadeiras na disjunção exclusiva, o resultado é falso.
2. Aqui temos três proposições introduzidas com as palavras SE, ENTÃO e E, que possuem a estrutura p → (q Ù r). Resolvendo as duas últimas primeiro teremos que q é V e r é F. Como o conectivo é o E e uma das proposições é falsa, logo a afirmação é falsa também. A primeira proposição p é verdadeira. Assim, a sequência de V e F na condição faz com que o resultado seja falso.
3. Note as palavras SE e ENTÃO. A primeira (Luiza possui um gato) é verdadeira e a segunda (Rafael tem bicicleta) é falsa, logo a sequência V e F na condição torna a afirmação falsa.
4. Repare na palavra OU aparecendo uma única vez (característica da disjunção inclusiva). Uma das proposições sendo verdadeira (no caso, a segunda) já é o suficiente para que a afirmação seja verdadeira.
5. Repare na palavra E, característica da conjunção. Uma das proposições sendo falsa (no caso, a segunda) já é o suficiente para que a afirmação seja falsa.

A alternativa correta então é a letra D.

Considerações finais sobre conectivos lógicos

Em suma, os conectivos lógicos servem para facilitar a análise da relação entre duas ou mais proposições. Eles não estão totalmente dissociados da interpretação de texto, pois apenas apresenta a análise de forma mais estruturada.

Saber a estrutura e aplicá-la ao questionamento da questão é a diferença entre um candidato preparado e outro que conta com a sorte. A prática sempre leva à perfeição e o foco sempre traz resultados.

Então, bons estudos!!!

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