Progressão Geométrica

Aprenda os conceitos essenciais sobre progressão geométrica com um resumo para as principais provas de concursos.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

A Progressão Geométrica (PG) é um dos conteúdos mais importantes de sequências numéricas e aparece frequentemente em provas de concursos públicos, vestibulares e exames militares. Esse tema costuma ser explorado em questões envolvendo crescimento exponencial, juros compostos, duplicações sucessivas e interpretação de padrões numéricos.

Em provas de bancas como FGV, FCC e Cebraspe, é comum encontrar questões em que o candidato precisa identificar rapidamente uma multiplicação constante entre os termos da sequência, além de aplicar fórmulas relacionadas ao termo geral e à soma dos termos.

Neste artigo, você vai entender o conceito de Progressão Geométrica, conhecer seus principais tipos e aprender a resolver questões típicas de prova com segurança.

Confira os tópicos que serão abordados:

• O que é a progressão geométrica;
• Tipos de progressão geométrica;
• Termo geral;
• Propriedades;
• Soma dos termos;
• Exemplos resolvidos;
• Resumo.

O Que é Progressão Geométrica

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

A razão da PG normalmente é representada pela letra q.

Por exemplo:

2, 6, 18, 54…

Observe que:

• 6 ÷ 2 = 3
• 18 ÷ 6 = 3
• 54 ÷ 18 = 3

Logo:

q = 3

Se cada termo é obtido multiplicando o anterior por um mesmo valor, provavelmente é uma PG.

Estrutura geral

Uma PG pode ser representada por:

a₁, a₂, a₃, a₄…

Onde:

• a₁ = primeiro termo;
• a₂ = segundo termo;
• e assim por diante.

Tipos de Progressão Geométrica

Podemos classificar as progressões geométricas em quatro tipos principais.

1) PG crescente

Ocorre quando a razão é positiva (q > 0), fazendo com que os termos aumentem progressivamente.

Exemplo: 2, 4, 8, 16…

2) PG decrescente

Ocorre quando a razão está entre 0 e 1 (0 < q < 1), fazendo com que os termos diminuam.

Exemplo: 81, 27, 9, 3…

3) PG constante

Ocorre quando a razão é igual a 1 (q = 1), fazendo com que todos os termos sejam iguais.

Exemplo: 5, 5, 5, 5…

4) PG constante

Ocorre quando a razão é negativa (q < 0), fazendo com que os sinais dos termos se alternem.

Exemplo: 2, -4, 8, -16…

Termo Geral da Progressão Geométrica

O termo geral permite encontrar qualquer termo da PG sem escrever toda a sequência.

Fórmula

a_n = a₁ · qⁿ⁻¹

Onde:

• a_n = termo desejado (n-ésimo termo);
• a₁ = primeiro termo;
• n = posição do termo;
• q = razão.

Exemplo

Determine o 6º termo da PG: 3, 6, 12, 24…

Dados:

• a₁ = 3
• q = 2
• n = 6

Aplicando a fórmula do termo geral:

a₆ = 3 · 2⁵

a₆ = 3 · 32 = 96

Propriedades da Progressão Geométrica

Veremos agora as duas principais propriedades de uma PG.

Produto dos termos equidistantes

Em uma PG, o produto de termos equidistantes dos extremos é constante.

Por exemplo: 2, 4, 8, 16, 32

Temos:

• 2 × 32 = 64
• 4 × 16 = 64

Termo médio geométrico

O termo central é a média geométrica dos vizinhos.

Por exemplo: 2, 6, 18

Temos:

• 6² = 2 × 18
• 36 = 36

Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica

A soma dos termos de uma PG pode ser calculada de duas formas possíveis, dependendo se a progressão possui termos finitos ou infinitos (sim, é possível somar infinitos termos em alguns casos).

1) PG finita

Fórmula

Onde:

• S_n = soma dos termos;
• n = quantidade de termos;
• a₁ = primeiro termo;
• q = razão.

Exemplo

Calcule a soma dos termos da PG: 2, 4, 8, 16.

Resolução:

• a₁ = 2
• q = 4 ÷ 2 = 2
• n = 4

2) PG infinita

A soma dos termos de uma PG infinita só pode ser calculada quando 0 < q < 1.

Fórmula

Exemplo

Calcule: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

Resolução:

• a₁ = 1
• q = 1/2

Esse tipo de questão aparece muito em provas mais avançadas.

Exemplos Resolvidos – Progressão Geométrica

Exemplo 1

Uma bactéria dobra sua quantidade a cada hora. Se inicialmente existem 3 bactérias, quantas haverá após 5 horas?

Resolução:

Temos uma PG:

• a₁ = 3
• q = 2
• n = 6

Aplicando a fórmula do termo geral:

a₆ = 3 · 2⁵

a₆ = 96

Portanto, haverá 96 bactérias.

Exemplo 2

Calcule a soma: 1 + 3 + 9 + … + 81.

Resolução:

Aplicamos diretamente a fórmula da soma da PG.

• a₁ = 1
• q = 3
• n = 4

Exemplo 3

Uma pessoa inicia um treino correndo 2 km e dobra a distância a cada dia durante 5 dias. Qual foi a distância total percorrida?

Resolução:

Temos a PG: 2, 4, 8, 16, 32.

• a₁ = 2
• q = 2
• n = 5

Portanto, a pessoa percorreu 62 km.

Resumo – Progressão Geométrica

Para te ajudar a revisar os principais pontos que vimos até aqui sobre progressão geométrica, de forma rápida e estratégica, preparamos um resumo:

Conceito	Fórmula/Ideia principal	Palavras-chave
Razão da PG	q = an / an−1	multiplicação constante
Termo geral	an = a₁ · qn−1	encontrar termo distante
Soma da PG finita	Sn = a₁(qn−1)/(q−1)	soma de sequência
Soma da PG infinita	S = a₁/(1−q)	aproximação, infinito
PG crescente	q > 1	crescimento exponencial
PG decrescente	0 < q < 1	redução proporcional
PG constante	q = 1	Termos iguais
PG alternante	q < 0	sinais alternados

Finalizando

A Progressão Geométrica é um conteúdo essencial para compreender fenômenos que envolvem crescimento ou redução multiplicativa. O ponto central está em identificar a existência de uma razão constante entre os termos.

Além de dominar as fórmulas, é fundamental desenvolver a capacidade de reconhecer situações práticas em que a PG aparece disfarçada, como em juros compostos, crescimento populacional e duplicações sucessivas.

Com prática, o reconhecimento desses padrões se torna mais rápido e natural, permitindo resolver questões com mais precisão e eficiência. Dominar Progressão Geométrica é um passo importante para fortalecer a base matemática e melhorar o desempenho em provas de concursos.

É importante reforçar que este conteúdo deve ser utilizado como complemento ao material em PDF, onde a abordagem é aprofundada e completa. Além disso, é fundamental praticar com muitas questões, preferencialmente separadas por banca, para entender as diferentes formas de cobrança.

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Bons estudos e até a próxima!

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