Saiba tudo sobre MMC

Descubra tudo o que precisa saber sobre o mmc.

Olá pessoal, tudo bem?

A Matemática tem fama de ser complicada e muitas vezes dificulta a vida dos concurseiros país afora. Tabuada, fórmulas, cálculos, interpretação de problemas, regras e propriedades costumam ser reclamações constantes de quem não domina a matéria.

Um dos conceitos utilizados em vários conteúdos de Matemática é o mmc, conteúdo que iremos detalhar e tirar todas as suas dúvidas definitivamente.

O que é o mmc?

Antes de mais nada precisamos entender o que é um múltiplo. De forma bem simplificada, múltiplo é a relação entre o produto (resultado de uma multiplicação) e os seus fatores (números multiplicados).

Por exemplo: na multiplicação 4 x 6 = 24, o número 24 é múltiplo de 6 e podemos dizer também que o 24 é múltiplo de 4. Do mesmo modo, podemos ainda dizer 4 e 6 são divisores de 24.

Vale destacar também que essas relações de múltiplos e divisores são apenas para números inteiros. Em síntese podemos dizer que toda vez que multiplicamos dois números inteiros, o resultado é um múltiplo desses números.

Assim, podemos dizer que o conjunto dos múltiplos de 4, por exemplo, é o M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, …}, pois resultam da multiplicação do 4 pelos números inteiros 0, 1, 2, 3, 4, … Podemos notar que esse conjunto é infinito (porque o conjunto de números inteiros que podemos multiplicar o 4 é infinito) e que o zero é múltiplo de todos os números (já que todos os números multiplicados por zero resultam em zero).

O mmc é o mínimo múltiplo comum a dois ou mais números, exceto o zero, ou seja, o menor número diferente de zero que está tanto no conjunto dos múltiplos de um número quanto do(s) outro(s). De forma ainda mais simplificada, pode ser conceituado como o menor número que “se encontra na tabuada” de dois ou mais números.

Como calcular?

Para calcular o mmc são utilizados geralmente 3 métodos diferentes, porém, para concursos, não são recomendados os métodos mais demorados. Lembre-se de que o tempo é um fator que pode ser decisivo em um concurso e por isso deve ser bem administrado.

Além disso, precisamos adiantar um conceito que facilita o cálculo do mmc: o de fatoração em números primos. Esse mecanismo tem por objetivo decompor um número em multiplicação de números primos (números que só podem ser divididos por 1 e ele mesmo sem deixar resto).

Vamos adotar o 24 como exemplo novamente. Como vimos, o 24 pode ser representado como resultado da multiplicação de dois outros números (o 4 e o 6), porém essa não é a forma mais simples. Veja que o 4 é o resultado da multiplicação de 2 x 2 e o 6 como 2 x 3.

Observe também que o 2 e o 3 não podem ser decompostos em multiplicação de números inteiros menores (a não ser multiplicá-los pelo 1) assim como fizemos com o 4 e o 6. Ou seja, o 2 e o 3 são números primos.

Desse modo, a fatoração do 24 em números primos resulta da multiplicação dessas duas decomposições de seus divisores: 2 x 2 x 2 x 3 ou 2³ x 3. Uma forma mais simples de fazer isso é realizar divisões sucessivas por números primos até obter 1 como resultado. Assim:

A seguir vamos analisar cada método.

Listagem dos múltiplos

Esse método consiste na listagem de múltiplos dos números analisados e verificação do menor número que coincide em todos os conjuntos. Como exemplo iremos calcular o mmc entre o 20 e o 24.

Múltiplos do 20 são M (20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, …}

Múltiplos do 24 são M (24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, …}

Observe que o 120 é o menor número diferente de zero que aparece nos dois conjuntos, sendo assim, o resultado que almejamos. Logo mmc (20;24) = 120.

Esse método não é muito recomendado para concursos já que demanda mais tempo para ser executado. Além disso, o mmc entre dois ou mais números pode ser um valor muito grande, tornando o cálculo cada vez mais difícil e demorado.

Fatoração separada em números primos

Esse método consiste em fatorar os números separados e selecionar as bases diferentes que possuem maior expoente. Vejamos um exemplo do mmc (20;24):

Esse método agiliza a descoberta do mmc, pois não depende de um processo com etapas não úteis (como listar os múltiplos que não servirão para mmc). Mesmo assim não é tão ágil quanto o próximo, já que demanda mais de uma fatoração.

Fatoração conjunta em números primos

Esse método consiste em dividir simultaneamente todos números por fatores primos até todos os valores finais igualarem a 1. Vejamos o exemplo em seguida:

É o método mais indicado para concursos em razão da objetividade do resultado. Porém, em casos específicos, o cálculo do mmc pode ser ainda mais rápido do que nesse método.

Casos com cálculo rápido de mmc

Alguns casos específicos podem possuir maneiras ainda mais rápidas de cálculo do mmc. Assim, é importante prestar atenção a essas dicas para não perder tempo:

• MMC entre 1 e qualquer número: o resultado sempre vai ser o outro número, pois todos os números são múltiplos de 1.
• MMC entre números primos: o resultado é o produto entre eles. Por exemplo, o mmc (5;7) = 35, pois 5 e 7 são primos e 35 é o resultado da multiplicação entre eles.
• MMC entre números consecutivos: o resultado também é o produto entre eles. Por exemplo, o mmc (15;16) = 240, pois são números consecutivos e 240 é o resultado da multiplicação.
• MMC entre um número e seu múltiplo: o resultado é sempre o múltiplo (o número maior). Por exemplo, o mmc (6;24) = 24, pois 24 é múltiplo de 6. Por essa lógica, podemos verificar que o mmc entre o 2 e qualquer número par, vai resultar sempre no outro número.

Exemplos de questões com mmc

Os cálculos em que o mmc já é o resultado geralmente envolvem questões que passam a ideia de simultaneidade, coincidência ou sincronismo. Listamos alguns exemplos em seguida.

• Dois faróis marítimos, A e B, piscam em ciclos regulares para orientar os navegantes. O farol A pisca uma vez a cada 45 segundos. O farol B pisca uma vez a cada 60 segundos. Ambos piscam juntos às 18h em ponto. Qual será o próximo horário em que ambos os faróis piscarão juntos novamente? R = 18h 03 min (mmc entre 45 e 60 que é igual a 180 segundos, que convertendo para minutos é igual a 3) – Questão da banca Avança SP.
• Paulo vai ao médico a cada 15 dias e Joana a cada 20 dias. Os dois foram hoje. Daqui quanto tempo se encontrarão novamente no consultório? R = 60 dias (mmc entre 15 e 20).
• Dois ônibus saem de um terminal rodoviário ao mesmo tempo. Considerando que um faz o percurso em 18 minutos e o outro em 24 minutos, daqui a quanto tempo partirão juntos novamente? R = 72 minutos ou 1 hora e 12 minutos.

MMC nos cálculos com fração

Imagine que você precise somar dois pedaços de tamanhos diferentes de um bolo e dizer que fração do bolo inteiro a soma corresponde. Você pode saber quanto é a metade do bolo (1/2) ou quanto é 1/10 do bolo (o bolo dividido em 10 partes iguais), mas saberia dizer a que fração do bolo corresponde essas duas partes juntas?

Essa pergunta fica um pouco difícil de responder em razão dos tamanhos serem diferentes (a metade do bolo com certeza é um pedaço muito maior do que 1 décimo do bolo). A forma mais fácil de resolver isso seria dividir esse bolo em partes iguais para calcular.

Nesse exemplo, se eu dividir o bolo em 10 partes iguais, cada parte corresponderá a 1/10. Se das 10 partes pegarmos 5, teremos pegado a metade do bolo. Logo, a metade do bolo (5/10) e mais 1/10 serão pedaços do mesmo tamanho e poderemos dizer que temos 6 partes iguais do total de 10, ou seja, 6/10 do bolo inteiro.

O raciocínio que adotamos nada mais foi do que transformar os denominadores das frações (os números de baixo) em um mesmo número, encontrar frações equivalentes e somar os numeradores (números de cima). O menor número que podemos utilizar para igualar os denominadores é o mmc, que será útil para resolver soma e subtração de frações.

Considerações finais

Em suma, o cálculo do mmc é um recurso importante para resolução de problemas que envolvem simultaneidade e cálculos de soma ou subtração de frações. Dominar essa técnica e resolver com agilidade pode ser um diferencial para aquela pontuação a mais em Matemática.

Assim, é importante que o candidato dedique um tempo ao estudo e exercícios desse conteúdo tão presente em provas. Não deixe que assuntos simples como esse sejam o vilão no seu desempenho nas provas.

Bons estudos!!!…

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