Progressão Aritmética e Progressão Geométrica – Aplicação em concursos
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Progressão Aritmética e Progressão Geométrica – Aplicação em concursos

Olá, pessoal, no artigo de hoje trataremos sobre as aplicações de Progressão Aritmética e Progressão Geométrica nas provas de concurso. Vamos lá?

Definição

Progressão nada mais é que o desenvolvimento de uma sequência que segue uma lei de formação (uma fórmula matemática). No nosso cotidiano estamos diante de várias sequências, tais como:

  • Aniversários: (20 anos, 21 anos, 22 anos e etc.)
  • Anos de copa do mundo: (1994, 1998, 2002 e etc.)
  • Sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4 e etc.)

Dentro desse contexto temos a Progressão Aritmética e Progressão Geométrica que exploraremos a seguir.

Progressão aritmética (PA)

A progressão aritmética é uma sequência numérica que corresponde, a partir do segundo termo, à soma do termo anterior com uma constante. Essa constante chamamos de razão (r).

PA (a; a+r; a + 2r; …)

Imaginemos que temos um termo inicial  que valha 1 e que a razão seja de 3, teremos a seguinte sequência:

{1; 4; 7; …}

Bem tranquilo, não é mesmo? Mas e se quisermos saber o 99º termo? Seria muito trabalhoso realizar essa sequência “na mão”, por isso a necessidade de conhecermos as fórmulas que exploraremos à frente.

Além disso, a P.A poderá ser classificada como:

  • Crescente: (1; 2; 3…) r = +1
  • Decrescente: (1; 0; -1) -> r = -1
  • Constante: (1; 1; 1) -> r = 0

Obs. A classificação nem é tão importante assim, mas devemos observar que os valores poderão ser positivos ou negativos a depender do caso.

Progressão geométrica (PG)

Já a progressão geométrica é uma sequência numérica que corresponde, a partir do segundo termo, à multiplicação do termo anterior pela razão (q).

PG [a; a.q; a.q²; …]

Vamos utilizar os mesmos números do exemplo anterior para determinar a sequência utilizando a PG.

{1; 3; 9; …}

Referente às classificações, além das que vimos na PA, a PG também poderá ser oscilante, quando a razão (q) for menor que 0.

{1; -2; 4; -8; 16;…}

Fórmulas PA

Agora que já definimos o conceito de PA vejamos as principais fórmulas associadas ao tema.

Definição: Já definimos a PA, mas matematicamente ela pode ser descrita.

Definição PA

Termo Geral: Trata-se da fórmula mais importante, essa deve ser decorada.

Termo Geral PA

Razão: A razão pode ser definida pela diferença entre dois termos consecutivos.

Razão PA

Soma dos termos:

Soma dos termos PA

Essa fórmula pode ser bem útil para encontrar a soma dos termos da sequência.

Voltando ao nosso exemplo de PA (a1 = 1 e r = 3), vamos encontrar a soma dos cinco primeiros termos.

Primeiro determinaremos o quinto termo.

 Agora basta aplicar a fórmula

Veja que é muito mais fácil que encontrar toda a sequência e somá-la termo a termo.

∑{ 1; 4; 7; 10; 13} = 35

Equivalência dos termos da PA: Trata-se de uma propriedade interessante da PA, em que:

Equivalência PA

Onde,

n + m = p + t

Utilizando os valores da sequência anteriormente vista {1; 4; 7; 10; 13}, teremos que:

Essa fórmula é bem útil para determinar um termo a partir de outros termos dados pelo exercício, sem conhecer a razão, por exemplo.

Fórmulas PG

As principais fórmulas para a Progressão Geométrica são:

Definição:

definição PG

Termo Geral:

Termo geral PG

Razão: A razão pode ser encontrada pela divisão entre dois termos consecutivos.

Razão PG

Soma dos termos:

Aqui temos uma diferença em relação à P.A, pois podemos encontrar a soma de “n” termos da mesma forma que a PA, porém também podemos encontrar a soma infinita dos termos, desde que a razão esteja entre -1 e 1.

Soma finita dos termos:

Soma dos termos finitos PG

Vamos encontrar a soma dos cinco primeiros termos da PG, considerando que  a1 = 1 e r = 3.

O quinto termo será:

Então,

Confirmando,

∑{1; 3; 9;27; 81} = 121

Soma infinita dos termos:

Para somas de infinitos termos utilizamos a seguinte fórmula (atenção à condição!):

Soma dos termos infinitos PG

Condição: -1 < q < 1

Exemplo numérico:

E existe uma explicação? Claro, ao avançarmos na sequência (n tendendo ao infinito) em que a razão (q) atende à condição -1 < q < 1, os valores serão cada vez menores, tendendo a zero, dessa forma é possível determinar o valor da soma, essa é a ideia de limite.

{ 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125; 0,15625; 0,078125; ….}

Equivalência dos termos da PG: Assim como na PA, é possível determinar um termo a partir de sua “distância/posição”, porém atenção, pois na PG encontraremos a partir do produto e não da soma.

Equivalência PG

Onde,

n + m = p + t

Utilizando os números de nossa sequência {1; 3; 9; 27; 81} teremos que:

Resumo Estratégico

Com objetivo de facilitar sua revisão, vejamos uma tabela com as fórmulas que resolvem a grande maioria dos exercícios sobre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Resumo PA e PG

Venda na prática

Agora vamos resolver duas questões de PA e duas de PG para sedimentar o que vimos até aqui.

Exercícios PA

CESPE/2019 – Técnico (TJ PR)

O protocolo de determinado tribunal associa, a cada dia, a ordem de chegada dos processos aos termos de uma progressão aritmética de razão 2: a cada dia, o primeiro processo que chega recebe o número 3, o segundo, o número 5, e assim sucessivamente. Se, em determinado dia, o último processo que chegou ao protocolo recebeu o número 69, então, nesse dia, foram protocolados

 a) 23 processos.

b) 33 processos.

c) 34 processos.

d) 66 processos.

e) 67 processos.

Primeiro destacaremos as informações importantes do enunciado:

  • r = progressão aritmética de razão 2
  • a1 = o primeiro processo que chega recebe o número 3
  • an = o último processo que chegou ao protocolo recebeu o número 69

Assim,

Alternativa C

VUNESP/2020 – Cabo (PMSP)

O percurso de um treinamento de corrida é composto por 5 etapas com distâncias diferentes em cada uma delas. Uma nova etapa sempre tem 100 metros a mais que a etapa anterior. Sabendo que a quarta etapa do treinamento é percorrer 1 200 metros, a distância total do percurso é igual a

a) 6 100 metros.

b) 5 900 metros.

c) 5 700 metros.

d) 5 500 metros.

Novamente vamos separar as informações importantes:

  • r = Nova etapa sempre tem 100 metros a mais que a etapa anterior
  • a4 = Quarta etapa do treinamento é percorrer 1.200 metros

A distância total do percurso é igual a somatória dos termos da PA, logo:

Alternativa D

Exercícios PG

CESPE/2020 – Analista (TJ PA)

No dia 1.º de janeiro de 2019, uma nova secretaria foi criada em certo tribunal, a fim de receber todos os processos a serem protocolados nessa instituição. Durante o mês de janeiro de 2019, 10 processos foram protocolados nessa secretaria; a partir de então, a quantidade mensal de processos protocolados na secretaria durante esse ano formou uma progressão geométrica de razão igual a 2.

Nessa situação hipotética, a quantidade de processos protocolados nessa secretaria durante os meses de junho e julho de 2019 foi igual a

a) 320.

b) 480.

c) 640.

d) 960.

e) 1.270.

Dados da questão:

  • a1= Durante o mês de janeiro de 2019, 10 processos foram protocolados
  • q = progressão geométrica de razão igual a 2

Logo, a quantidade do mês junho de junho será:

Agora para encontrar o mês de julho basta multiplicar a quantidade de junho pela razão (lembre-se da definição!).

Assim, a quantidade de processos protocolados nessa secretaria durante os meses de junho e julho de 2019 foi igual a

Alternativa D

 FCC/2019 – Analista (TRF 3ª)

Um carro percorreu 3.000 km. A cada dia de viagem, a partir do primeiro, ele dobrou a distância percorrida no dia anterior. Se ele finalizou a viagem em quatro dias, a distância percorrida, em quilômetros, no primeiro dia foi de

a) 100.

b) 200.

c) 150.

d) 250.

e) 300.

Para finalizar, uma questão que aborda a soma dos termos de uma PG.

Dados:

O primeiro ponto a se notar é que a razão não está no intervalo de -1 e 1 e que se trata de uma soma finita de valores, então:

Obs. Atenção, pois a somatória dos termos da PG, como vimos, tem duas fórmulas possíveis, uma para termos infinitos e outra para termos finitos.

Alternativa B

Considerações Finais

Caso tenha restado alguma dúvida ou queira aprofundar o conhecimento no tema, aconselho o curso básico de matemática nas aulas 22 e 23.

Curso de matemática

Além disso fica como recomendação uma série de vídeos sobre matemática básica:

https://www.youtube.com/watch?v=nDk_M7bKqQA

Por hoje é só, espero que o artigo tenha colaborado com seus estudos sobre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Até a próxima;

Leonardo Passarin

Instagram: @leonardompassarin

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Brunno Lima

Brunno Lima

Desde 2005 leciona as disciplinas de Matemática Financeira, Raciocínio Lógico e Matemática em cursos preparatórios para concursos online e presenciais tendo ministrado aulas em Belo Horizonte, Rio de Janeiro, Niteroi, Salvador, Recife, São Paulo, Brasília, Curitiba, Porto Alegre além de Juiz de Fora, sua cidade natal. Autor de “Revisaços” e “Revisão Final” pela Editora Juspodvim. Na sala de aula ataca de forma objetiva os conteúdos fazendo um verdadeiro raio X das bancas, levando ao aluno uma linguagem acessível e tornando os conteúdos palpáveis até mesmo àqueles candidatos que apresentam grandes dificuldades. 

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