Logaritmo: Aprenda de Uma Vez por Todas

Aprenda os conceitos essenciais para resolução de questões sobre logaritmo com um resumo para as principais provas de concursos.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O logaritmo é um dos temas mais importantes da matemática quando se trata de manipular expressões exponenciais e resolver problemas que envolvem crescimento, escalas e ordens de grandeza.

Em provas de concursos, esse tema aparece de forma recorrente com bancas como FGV, FCC e Cebraspe, tanto de forma direta quanto em questões contextualizadas, exigindo do candidato domínio das propriedades e interpretação correta da definição.

Neste artigo, você vai entender o conceito de logaritmo, aprender a calcular valores, dominar suas propriedades e aplicar tudo isso em questões.

Confira os tópicos que serão abordados:

• Logaritmo;
• Propriedades dos Logaritmos;
• Exemplos resolvidos;
• Resumo.

Logaritmo

O logaritmo é definido como o expoente ao qual uma base deve ser elevada para produzir um determinado número.

Na forma geral:

log_b a = x ⇔ b^x = a

Onde:

• b é a base (b > 0 e b ≠ 1). Quando não houver indicação da base, ela será igual a 10 (log = log₁₀).
• a é o logaritmando (a > 0);
• x é o logaritmo.

Exemplos:

• log₂ 8  = 3, pois 2³ = 8
• log 100 = log₁₀ 100 = 2, pois 10² = 100
• log₃ 1  = 0, pois 3⁰ = 1

Como calcular na prática:

1. Tente escrever o número como potência da base;
2. Compare com a definição;
3. Identifique o expoente.

Exemplo: log₅ 125

125 = 5³

Logo:

log₅ 125 = 3

Consequências da definição do logaritmo

A partir da definição, podemos extrair resultados importantes:

• log_b 1 = 0
• log_b b = 1
• log_b b^x = x
• b^log_b^a = a

Essas relações aparecem frequentemente em simplificações e devem ser decoradas para as provas.

Propriedades dos Logaritmos

Dominar as propriedades é essencial para resolver questões com rapidez.

1) Logaritmo do produto

log_b(x·y) = log_b x + log_b y

Exemplo:

log₂ 32 =

log₂ (8·4) =

log₂ 8  + log₂ 4 =

3 + 2 = 5

2) Logaritmo do quociente

log_b(x/y) = log_b x – log_b y

Exemplo:

log₃ (3/9) =

log₃ 3 – log₃ 9 =

1 – 2 = -1

3) Logaritmo da potência

log_b xⁿ = n·log_b x

Essa é uma das propriedades mais utilizadas.

Exemplo:

log₂ 16 =  

log₂ 2⁴ =

4·log₂ 2 =

4·1 = 4

4) Mudança de base

A propriedade de mudança de base pode ser utilizada para alterar a base de qualquer logaritmo (b) para uma base desejada (c), e é muito útil quando a base não é conveniente.

Exemplo:

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1

O pH de uma solução é dado por pH = -log[H+]. Se a concentração de íons H+ é 10^-3, qual é o pH?

Resolução:

pH = -log(10^-3)

pH = -(-3·log 10) = -(-3·1) = 3

Exemplo 2

Resolva: log₂ x = 5.

Resolução:

Transformamos o logaritmo em forma exponencial.

2⁵ = x

x = 32

Exemplo 3

Resolva: log₂ (16x) – log₂ (2x).

Resolução:

log₂ (16x) – log₂ (2x) =

log₂(16x/2x) =

log₂ 8 = 3

Resumo – Logaritmo

Para te ajudar a revisar os principais pontos que vimos até aqui sobre logaritmos, de forma rápida e estratégica, preparamos um resumo:

Conceito	Regra	Dica
Definição	logb a = x ⇔ bx = a	Converter entre formas
Produto	logb(x·y) = logb x + logb y	Separar multiplicações
Quociente	logb(x/y) = logb x – logb y	Separar divisões
Potência	logb xn = n·logb x	Trazer expoente para frente
Consequências	logb 1 = 0 / logb b = 1 / logb bx = x / blogba = a	Memorizar padrões básicos

Finalizando

O logaritmo é uma ferramenta poderosa para lidar com problemas que envolvem crescimento exponencial e manipulação algébrica. Mais do que memorizar propriedades, o essencial é compreender a relação entre logaritmos e exponenciais, pois isso permite resolver questões com mais clareza e eficiência. Dominar esse tema é um passo importante para alcançar um desempenho sólido em provas de matemática.

Vimos que muitos problemas podem ser simplificados com o uso adequado das propriedades, especialmente quando conseguimos reorganizar a expressão antes de calcular. Esse tipo de abordagem reduz erros e aumenta a velocidade de resolução. Com prática consistente, o uso dos logaritmos se torna natural, permitindo ao candidato identificar rapidamente o caminho correto para resolver questões.

 É importante reforçar que este conteúdo deve ser utilizado como complemento ao material em PDF, onde a abordagem é aprofundada e completa. Além disso, é fundamental praticar com muitas questões, preferencialmente separadas por banca, para entender as diferentes formas de cobrança.

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Bons estudos e até a próxima!

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