Resumo sobre a esfera

Saiba tudo sobre a esfera.

Olá pessoal, tudo bem?

A esfera é certamente uma figura geométrica bastante presente no nosso dia a dia. Estamos acostumados a associá-la, por exemplo, com bolas, bolhas, pérolas, algumas frutas, alguns enfeites e até ao formato dos planetas e outros astros.

O que é uma esfera?

A esfera é uma figura tridimensional, também chamada de sólido geométrico, formada pela junção de todos os pontos equidistante de um ponto central. Além disso, também podemos conceituar a esfera como a rotação de um semicírculo sobre um eixo.

Em outras palavras, utilizando uma linguagem bem simples, podemos dizer que ela é o que chamamos de um corpo redondo ou mesmo de bola.

Esfera é basicamente o nosso conceito de redondo.

Elementos da esfera

Centro: também chamado de origem, é o ponto que está localizado no centro da esfera. Essa característica faz com que ele esteja sempre a uma mesma distância de qualquer ponto da superfície da esfera.

Raio: é o segmento de reta que liga o centro a qualquer ponto da superfície da esfera.

Diâmetro: é o segmento de reta que liga dois pontos na superfície da esfera passando pelo centro. Ou seja, ele corresponde ao dobro do valor do raio.

Raio e diâmetro da esfera.

Equador: assim como no planeta Terra, comumente considerado uma esfera para fins matemáticos, consiste a circunferência que divide a esfera em duas partes iguais (daí o nome).

Paralelos: também conforme o planeta, os paralelos são circunferências da superfície da esfera paralelas ao Equador (que é um tipo de paralelo). Os paralelos geralmente são representados na horizontal.

Meridianos: são circunferências na superfície da esfera que passam todos por dois pontos diametralmente opostos. Esses pontos são chamados de polos. Os meridianos geralmente são representados na vertical (perpendiculares aos paralelos).

Fuso esférico: é a área formada entre dois “semimeridianos” (duas semicircunferências conectadas aos polos sem se sobrepor). Ou seja, ao se girar uma semicircunferência no eixo dos polos.

Cunha: é o volume ocupado por um fuso ligado ao diâmetro. Em outras palavras, consiste em uma rotação de um semicírculo em um ângulo menor que 360°.

O que é π?

Antes de mais nada, precisamos entender o que é o pi (π). Podemos defini-lo como uma constante vinda da relação entre o diâmetro e o comprimento de uma circunferência.

Esse valor é irracional, ou seja, possui infinitas casas decimais que não se repetem (podemos chamá-lo de dízima não-periódica). Em cálculos matemáticos comumente utilizamos o valor aproximado de 3,14 como valor de π.

Superfície da esfera

A superfície da esfera é calculada conforme a seguinte fórmula:

Onde:

A = a área da superfície da esfera (em associação ao nosso planeta, seria toda a área da superfície terrestre)

r = é o raio da esfera

Superfície do fuso

A princípio, para se calcular a superfície do fuso inicialmente precisamos saber o ângulo de rotação que o gerou. Assim, sabendo a qual fração da esfera (360°) o fuso corresponde, basta multiplicar o resultado da área pela fração correspondente.

Desse modo, para o cálculo conjuntamente com a fórmula e considerando que o ângulo do fuso é α, obteremos:

Volume da esfera

É o espaço tridimensional que a esfera ocupa ou, em outras palavras, é o quanto de matéria usada para preencher completamente todo o interior da esfera. Ele é dado pela fórmula:

Onde:

V = volume da esfera

r = raio da esfera.

Volume da cunha esférica

Para o cálculo da cunha esférica, basta adotar o mesmo raciocínio da área do fuso. A cunha corresponde a uma fração do volume da esfera, assim, basta multiplicar o volume da esfera por essa fração.

Desse modo, para o cálculo conjunto teremos:

Como cai em concursos?

Vejamos uma questão da banca Instituto IBED de 2025 com as alternativas CERTO ou ERRADO:

Um recipiente completamente esférico possui volume de 288π cm³ . Considerando a fórmula do volume da esfera, V=(4/3) πr³, e supondo que o valor de π seja mantido simbólico, podemos afirmar que a medida exata do raio da esfera é 6 cm, pois ao igualar V=(4/3)πr³=288π, temos uma equação que, ao ser resolvida, conduz diretamente a esse resultado.

Resposta: A questão deu a fórmula do volume da esfera e o resultado do volume a fim de que o candidato verificasse se o raio é realmente 6 cm. Resolvendo em seguida, teremos:

288π = (4/3) π r³ (como temos π dos dois lados da equação, podemos eliminá-lo)

288 = (4/3) r³ (mudando a fração de membro, mudamos a operação de multiplicação para divisão de fração, bastando multiplicar pelo inverso da fração)

288 . (3/4) = r³ (agora basta multiplicar pelo numerador 3 e dividir pelo denominador 4)

216 = r³ (fatorando o 216, percebemos que ele corresponde a 6³)

6³ = r³ , logo r = 6

A afirmação está correta.

Outra questão de 2025 da banca FUNDATEC.

Qual é a área total, em centímetros quadrados, de uma esfera cujo diâmetro é igual a 0,24 metros? Utilize π = 3,14.
Alternativas
A 0,785.
B 150,72.
C 452,16.
D 1.808,64.
E 2.800,64.

Resposta: questão bem simples. Tome apenas o cuidado de perceber que a questão informa o diâmetro e a medida em metros e precisaremos do raio (metade do diâmetro) e a resposta em centímetros. Assim o raio = 12 cm.

A = 4πr²

A = 4 . 3,14 . 12²

A = 4 . 3,14 . 144

A = 1.808,64 cm

A alternativa correta é a D.

Considerações finais

Em síntese, a esfera é uma forma muito presente no dia a dia e, consequentemente, também nos concursos. Conhecer seus conceitos e suas fórmulas (que não são muitos) ajudam a conseguir a aqueles pontinhos a mais na prova de concurso.

Assim, é importante entender seu conteúdo e exercitar com questões anteriores para fixar bem a matéria. Pois com a dedicação, o resultado sempre vem.

Bons estudos!!!