Aprenda a calcular a mediana de um conjunto de dados
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Aprenda a calcular a mediana de um conjunto de dados

Confira nesse artigo como calcular a mediana de um conjunto de dados. Além disso, entenda as diferenças entre moda, mediana e média.

Olá, pessoal, tudo bem?

Nesse artigo, aprenderemos o que é a mediana e, também, como calculá-la. Ademais, para um melhor entendimento do assunto, trataremos dos seguintes assuntos:

  1. O que é mediana?
  2. Como calcular a mediana?
  3. Qual é a diferença entre média, mediana e moda?
  4. Considerações finais

1. O que é mediana?

Conforme exposto pelo professor Guilherme Neves do Estratégia Concursos, a mediana pode ser definida como um número disposto de forma centralizada em uma série de números, organizados segundo uma ordem.

Análise estatística, mediana
A mediana é uma importante medida estatística para a análise de problemas de negócio.

2. Como calcular a mediana?

Mediana para dados não agrupados

Em princípio, vejamos um exemplo de um conjunto de dados não agrupados:

De acordo com a definição de mediana, precisamos ordenar os valores do grupo:

Conjunto de dados numéricos para exemplificar a mediana

Em seguida, encontremos o elemento central do conjunto. Em outras palavras, aquele membro do conjunto cuja posição marca um ponto em que há um número iguais de elementos à esquerda e à direita desse valor. Por exemplo, para esse conjunto, temos:

Conjunto de dados numéricos para exemplificar a mediana

Assim, a mediana do conjunto é o número 7, uma vez que possui o mesmo número de elementos à sua esquerda e à sua direita.

Contudo, nem tudo são flores. No caso acima, a quantidade de elementos era ímpar, o que, certamente, facilita a missão de encontrar o elemento central. Mas, agora, vejamos o seguinte conjunto numérico:

Conjunto de dados numéricos para exemplificar a mediana

Nesse caso, de fato, você não consegue encontrar apenas um elemento central que divida igualmente o conjunto em dois. Desse modo, para a quantidade par de elementos, devemos encontrar os dois elementos centrais do conjunto:

Então, percebemos que os dois números centrais separam dois conjuntos de três elementos. A fim de calcularmos a mediana para esse tipo de caso, devemos fazer a média aritmética dos dois elementos centrais:

Resultado da mediana

Portanto, para os casos de dados não agrupados, devemos estar muito atentos à ordenação dos elementos e, também, à quantidade de elementos do conjunto (par ou ímpar).

Mediana para dados agrupados sem intervalos de classe

Para esse caso, a mediana pode ser encontrada similarmente ao tópico anterior. Contudo, precisamos ter certos cuidados. Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de dados:

Notas depositadas em um caixa eletrônico no dia xFrequênciaFrequência acumulada
Dois reais22
Cinco reais13
Tabela com as frequências de ocorrência de depósito de notas em um caixa eletrônico em um dia x.

Só para ilustrar, poderíamos representar o conjunto de elementos do exemplo acima da seguinte forma:

Conjunto de dados numéricos para exemplificar a mediana

Ou seja, duas ocorrências do caso dois reais e uma ocorrência do caso cinco reais. Desse modo, a mediana é dois reais nessa situação.

Em seguida, partamos para uma situação mais complexa:

Notas depositadas em um caixa eletrônico no dia xFrequênciaFrequência acumulada
dois reais3535
cinco reais2055
dez reais1873
vinte reais1588
cinquenta reais896
cem reais4100
Tabela com as frequências de ocorrência de depósito de notas em um caixa eletrônico em um dia x.

Sem dúvida, poderíamos representar a situação como um conjunto numérico que nem fizemos no exemplo anterior. Todavia, em função da alta quantidade de elementos, isso ocasionaria um dispêndio de tempo considerável (coisa que o concurseiro não tem é tempo, não é mesmo?).

Assim, vejamos uma forma diferente de resolver esse tipo de problema. Primeiramente, somemos a frequência dos eventos (n) e vejamos a quantidade total de elementos:

Cálculo do n de elementos - mediana

Ademais, sabendo o número de elementos de um conjunto, conseguimos descobrir os seus elementos centrais do seguinte modo:

Fórmula para encontrar os elementos centrais para determinar a mediana

Nesse exemplo, temos, decerto, um conjunto com um número par de elementos. Dessa forma, segue que:

elementos centrais para determinar a mediana

Em seguida, observando a frequência acumulada averiguamos que os elementos 50° e 51° se encontram na classe “cinco reais”. Portanto, conseguimos calcular a mediana do exercício:

Mediana do conjunto

Cálculo da mediana para dados agrupados em classe

Primeiramente, para fins didáticos, vejamos a tabela a seguir:

Quantias depositadas em um caixa eletrônico no dia xFrequênciaFrequência acumulada
zero a dois reais44
dois a quatro reais26
quatro a seis reais28
seis a oito reais19
oito a dez reais110
Tabela com as frequências de ocorrência das quantias depositadas em um caixa eletrônico em um dia x.

Em contraste com os tipos anteriores de problemas, esse caso não requer o conhecimento da natureza par ou ímpar dos conjuntos numéricos. Assim sendo, basta que saibamos a frequência acumulada de eventos (n=10) e façamos a seguinte conta para determinar em qual classe a mediana se encontra:

Número de elementos do conjunto - mediana

Desse modo, notamos que a mediana não está nas classes de “zero a dois reais” e, sim, na classe de “dois a quatro reais”. Logo, para o cálculo da mediana, precisamos aplicar a seguinte fórmula:

Fórmula para o cálculo da mediana

Para que o problema dado, temos os seguintes inputs:

Parâmetros de input para o cálculo da mediana

Por fim, aplicando os inputs na fórmula, encontramos a mediana do problema:

Mediana do problema

3. Qual é a diferença entre média, mediana e moda?

Média

Primeiramente, comecemos com a média, medida de tendência que possui diversos tipos, tais como as médias aritméticas, harmônicas e ponderadas.

Todavia, em geral, o tipo mais cobrado é a média aritmética, em que todos os números de um conjunto de elementos numéricos são somados e divididos pela quantidade total de elementos.

Moda

Ademais, no que tange à moda, trata-se de outro indicador de tendência central, introduzido por Karl Pearson. Em suma, é uma medida que define o valor ou os valores que se apresentam com maior frequência em um conjunto sob estudo.

Média, mediana e moda

Assim sendo, podemos perceber que a média, a mediana e a moda são medidas diferentes, utilizadas para diferentes fins. Só para exemplificar, tomemos como exemplo o seguinte conjunto numérico:

Conjunto numérico desordenado

Em primeiro lugar, para uma melhor análise, organizemos o conjunto em ordem crescente:

Conjunto numérico ordenado

Em seguida, para esse exemplo, encontramos que a média do conjunto é 4 (somatório de todos os valores dividido pelo número de elementos), a mediana é 4 (conforme demonstração feita no tópico anterior) e a moda do conjunto é 2 (por ser o elemento que mais se repete).

Vale destacar que, de fato, uma das principais diferenças entre a mediana e a média reside no fato de que a mediana é uma medida que reflete mais fielmente o centro de um conjunto, não sendo afetada pelos valores extremos.

Por outro lado, a média leva em consideração todos os elementos do conjunto e, assim, é mais afetada pelos chamados “outliers” (aqueles valores que se destacam dos demais). Aliás, se não estiver claro, faça um pequeno experimento: troque o último elemento do conjunto por 950 e veja como a média e a mediana se comportarão.

Por fim, caso ainda reste dúvidas sobre o assunto, confira esse artigo informativo.

4. Considerações finais

Primeiramente, nesse artigo, buscamos trazer algumas dicas de como calcular a mediana de forma simples e rápida.

Ademais, por mais que seja um assunto que não necessite de cálculos complexos, exige uma boa capacidade analítica para saber qual metodologia empregar para encontrar a mediana de um conjunto de dados.

Além disso, lembremos dos cuidados de ordenarmos os dados antes de resolvermos os problemas (nos casos de dados não agrupados e de dados agrupados sem intervalos de classe). Igualmente importante é observarmos se a quantidade de elementos é par ou ímpar, pois isso pode influenciar a forma de “atacar” a questão.

Por fim, desejo a todos fé, dedicação e bons estudos.

Um grande abraço!!

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Rafael Incaua de Sousa Esashika

Rafael Incaua de Sousa Esashika

Engenheiro mecânico formado pela Universidade de Brasília, pós-graduado em Gestão Financeira pela Fundação Getúlio Vargas, certificado como Especialista em Investimentos - CEA (ANBIMA) e aprovado no Concurso do Banco de Brasília. 

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