Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH – Estatística

Olá, pessoal. Tudo certo? No artigo de hoje veremos o Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH.

Os assuntos que serão vistos:

• Correlação Linear: Correlação de Pearson e Propriedades
• Regressão Linear Simples: Método dos Mínimos Quadrados e Coeficiente de Determinação

Sem mais delongas, vamos lá.

Correlação Linear

Vamos começar o Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH.

Correlação: mostra a força que mantém duas variáveis unidas.

Correlação linear pode ser classificada:

• Direta (positiva): se aumentarmos uma variável, a outra também aumentará
• Inversa (negativa): se aumentarmos uma variável, a outra diminuirá
• Inexistente (nula): não existente correlação entre as variáveis
• Perfeita:  os fenômenos se ajustam perfeitamente a uma reta

Vejamos graficamente.

Coeficiente de correlação linear de Pearson

Dando continuidade, o coeficiente de correlação linear de Pearson mede o quão forte é a relação entre as duas variáveis (X e Y).

O somatório pode ser descrito alternativamente da seguinte forma:

Para simplificar podemos descrevê-la simplesmente como:

Também podemos encontrar o coeficiente de Pearson pela covariância entre as duas variáveis dividida pelo desvio padrão.

Ainda, é importante lembrar que o coeficiente de correlação de Pearson pode assumir quaisquer valores entre 1 e -1.

Obs.: Caso o coeficiente de Pearson for igual a zero, não podemos dizer necessariamente que não há relação, pois ela também poderá ser não-linear.

Vamos ver um exemplo numérico da utilização da fórmula.

Exemplo:

Teremos como média de X

= (6,50 + 7,50 + 8,00 + 8,50 + 9,50) / 5

= 8

E média de Y

(7,00 + 8,00 + 8,00 + 9,00 + 10,00) / 5

= 8,40

OK, agora veja os valores dos desvios do evento e a média, além dos demais valores que utilizaremos na fórmula.

Assim, teremos que:

r = 5 / (5 x 5,2)^-2

r = 0,9805 (aproximadamente)

Propriedades do Coeficiente de Correlação

Agora vejamos duas importantes propriedades do Coeficiente de Correlação.

• 1ª Propriedade: não sofre alteração quando uma constante é adicionada /subtraída uma variável.

• 2ª Propriedade: não sofre alteração quando uma constante é multiplicada/dividida. Entretanto, constantes com sinais contrários, o coeficiente mudará de sinal.

Essa segunda propriedade pode ser um pouco mais difícil de entender, então vamos exemplificar. Para simplificarmos, saiba que o coeficiente de Pearson para os dados a seguir é igual a 1.

Agora vamos multiplicar os valores de X por -2 e Y por +2.

Teremos as seguintes médias

Média de X = (2+ 4 + 6 + 8 + 10) / 5

Média de X = 6

Média de Y = [(-12) + (-14) + (-16) + (-18) + (-20)] / 5

Média de Y = -16

Utilizando a tabela auxiliar de cálculo, assim como já fizemos teremos que:

r = – 40 x (40 x 40)^-2

ou seja,

r (2x, -2Y) = -1

Veja que o valor do coeficiente não mudou, entretanto seu sinal foi alterado.

Regressão Linear Simples

Vamos dar continuidade ao Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH, vendo agora a Regressão Linear Simples.

Basicamente a Regressão Linear Simples busca explicar a relação de uma variável (variável dependente – Y) com outra variável (variável independente – X).

Quanto a correlação, temos que:

Yi = Variável dependente para uma série de observações

Xi = Variável independente para uma série de observações

β = coeficiente angular

α = coeficiente linear

ϵi = componente aleatório -> demonstra os desvios quando se tentar aproximar uma série de observações Xi por meio de uma reta Yi (correlação não perfeita)

Como qualquer modelo, a regressão linear exige alguns requisitos.

Requisitos:

• E (ϵi) = 0 -> média dos erros é igual a zero
• VAR (ϵi) = Constante -> A variância do erro é constante, trata-se da propriedade da homocedasticia.
• Cov  (ϵi, ϵj ) = 0 -> os erros não são correlacionados, ou seja, são independentes.

Método dos Mínimos Quadrados

Continuando o Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH, agora vejamos o Método dos Mínimos Quadrados.

Basicamente ele busca a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios.

Utilizaremos a seguinte expressão:

Em que “b” pode ser encontrado das seguintes formas

Ou de forma simplificada,

E “a”:

Para exemplificar, vamos utilizar a tabela auxiliar de cálculo.

Exemplo:

Teremos que,

b = -5 / 14

b = -0,357

E “a” será:

a = 8 – (-0,357) x 7

a = 8 + 2,499

a = 10,499

Logo, temos a reta de regressão estimada:

Y = 10,499 -0,357 . X

Coeficiente de Determinação

Para finalizar o Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH.

O coeficiente de determinação (R²) mede a qualidade do ajuste proporcionado pela reta de regressão

Perceba que se trata de um valor ao quadrado,

Sendo que:

SQT (Soma dos Quadrados Totais) = SQM (soma dos quadrados do modelo de regressão) + SQR (soma dos quadrados dos resíduos)

Em que a soma dos quadrados do modelo de regressão (SQM) pode ser definida pelas formas:

E a soma dos quadrados dos resíduos (SQR):

Exemplo: (VUNESP 2020/EBSERH) Numa regressão linear simples em que foi utilizada uma amostra com 52 observações, a soma dos quadrados totais e de 50 e a soma dos quadrados dos resíduos e de 20. O coeficiente de determinação será:

R² = SQM / SQT

R² = (SQT – SQR) / SQT

R² = (50 – 20) / 50

R² = 0,6

Considerações Finais

Pessoal, chegamos ao final dos Resumo sobre Correlação Linear e Regressão para ISS-BH. Espero que o artigo tenha sido útil para seu estudo.

Obviamente trata-se de um resumo apenas com as principais partes da matéria, as aulas são bem aprofundadas nas explicações e exercícios resolvidos, além de outros assuntos não tratados no artigo, mas que são importantes como Coeficiente de Determinação Ajustado, Quadrados Médios e Estatística F (Razão F), assim não deixe de acompanhar as aulas para o aprofundamento necessário.

Trata-se de um assunto que exige, de fato, muita prática por meio de exercícios. Assim, além dos exercícios da aula, não deixe de treinar pelo nosso sistema de questões.

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Até mais e bons estudos!