Resumo sobre Distribuição Amostral ISS-BH – Estatística

Olá, pessoal. Tudo certo? No artigo de hoje veremos o Resumo sobre Distribuição Amostral ISS-BH.

Os assuntos que serão tratados:

Distribuição Amostral da Média
Distribuição Amostral da Proporção
Distribuição Amostral da Variância
Estimador Pontual (propriedades e métodos de estimação)

Assim, vamos lá.

Distribuição Amostral

Vamos iniciar o Resumo sobre Distribuição Amostral ISS-BH.

Podemos definir a Distribuição Amostral como a distribuição de probabilidade dos estimadores.

Um ponto muito importante é lembrar que a distribuição de uma amostra aleatória segue a distribuição populacional, em outros termos, a distribuição de probabilidade da amostra é igual à distribuição de probabilidade da população.

Distribuição Amostral

Distribuição Amostral da Média

Dando continuidade ao Resumo sobre Distribuição Amostral ISS-BH, vejamos sobre a Distribuição Amostral da Média.

Vamos conhecer a Esperança da média amostral e a Variância da média amostral.

Esperança da média amostral

Distribuição Amostral da Média – Esperança

Variância da média amostral (população infinita)

Distribuição Amostral da Média – Variância

Fator de Correção para População Finita

Fator de correção

Obs.: Note que diferentemente da esperança da média amostral, a variância da média amostral diminui conforme o tamanho da amostra.

Outra observação a ser feita e que pode gerar alguma confusão é que vimos inicialmente que a variância amostral é igual à variância populacional, entretanto a variância da média amostral é diferente.

Exemplo: (VUNESP/2015 – TJ-SP) Resultados de uma pesquisa declaram que o desvio padrão da média amostral é 32. Sabendo que o desvio padrão populacional é 192, então o tamanho da amostra que foi utilizada no estudo foi

A lógica que vimos para a variância vale para o desvio padrão (lembrando que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância), assim:

32 = 192 / raiz n

raiz n = 192/32

raiz n = 6

n = 6²

n = 36

Distribuição Amostral da Proporção

A Distribuição Amostral da Proporção trata-se de uma distribuição em que determinada característica está presente em uma proporção p dessa população.

Assim, caso a proporção populacional seja desconhecida, precisamos estimá-la a partir da proporção de sucessos na amostra.

Distribuição Amostral da Proporção

Esperança do estimador

Distribuição Amostral da Proporção – esperança

A esperança do estimador é igual à proporção populacional

Variância do estimador

Distribuição Amostral da Proporção – Variância

Estimativa da variância populacional

Como não conhecemos a proporção p, devemos calcular a variância populacional a partir dos estimadores.

Estimativa da variância populacional

Fator de Correção para População Finita

Fator de Correção

Obs.: Caso de populações pequenas e sem reposição.

Exemplo: (CESPE 2016/TCE-PA) Em estudo acerca da situação do CNPJ das empresas de determinado município, as empresas que estavam com o CNPJ regular foram representadas por 1, ao passo que as com CNPJ irregular foram representadas por 0.

Considerando que a amostra {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1}

A estimativa pontual da proporção de empresas da amostra com CNPJ regular é superior a 50%.

CORRETO.

Estimador = 12 / 20 -> soma de todos os valores da amostra pelo número de elementos

Estimador = 0,6

Distribuição Amostral da Variância

Da mesma forma que vimos, a Distribuição Amostral da Variância é utilizada quando não conhecemos a variância da população e devemos estimá-la a partir da amostra.

Estimador da variância

Distribuição Amostral da Variância

Da mesma forma que para a variância amostral podemos definir que a variância é a diferença entre a média dos quadrados e o quadrado das médias, para o estimador da variância vale o mesmo raciocínio.

Variância

Esperança, Variância e Desvio Padrão para o estimador s².

Esperança, Variância e Desvio Padrão para o estimador s².

Atente-se que a esperança do estimador é igual à variância populacional.

Estimador Pontual

Prosseguindo no Resumo sobre Distribuição Amostral ISS-BH – Estatística, vamos ver um pouco mais sobre os estimadores.

A estimação pontual nada mais é que o valor calculado pelo estimador.

Inicialmente vimos os estimadores para média amostral, proporção amostral e variância amostral, agora vamos conhecer algumas propriedades.

Propriedades dos Estimadores

Vamos conhecer as Propriedades dos Estimadores.

Suficiência: A estatística (função dos dados observados) deve ser suficiente, ou seja, contemplar todas informações disponíveis na amostra para estimar o parâmetro populacional.

A distribuição da amostra, condicionada ao parâmetro (ex. média amostral), é independente do parâmetro populacional.

Não Tendencioso (não viés): A esperança do estimador é igual ao parâmetro populacional

Também podemos entender que a esperança do erro (viés do estimador ou tendenciosidade) deve ser zero para um estimador não tendencioso.

Eficiente: Dizemos que a variância deve ser a menor possível

Trata-se da variância do erro é igual ao Erro Quadrático Médio (EQM), ou seja, a soma da variância do estimador com o quadrado do viés do estimador.

EQM

E para estimadores não viesados, o viés do estimador b² é zero.

Consistente: estimativas convergem com o aumento do tamanho amostral, ou seja, convergem para o parâmetro populacional

Consistência do estimador

O estimador é consistente se a esperança tende ao estimador e a variância tende a zero, conforme o aumento da amostra.

Métodos de Estimação

Para finalizar o Resumo sobre Distribuição Amostral ISS-BH, vamos ver os Métodos de Estimação.

Método dos Momentos: baseia-se nos momentos teóricos e amostrais das variáveis aleatórias

Assim, para utilizarmos o método dos momentos (EMM) devemos igualar os momentos teóricos (ou populacionais) aos momentos amostrais.

Método dos Momentos

Uma definição interessante dada pela CONSULPLAN: “Este método iguala os momentos da população aos momentos amostrais. Os estimadores são obtidos resolvendo a equação ou o sistema de equações resultante.”

Método da Máxima Verossimilhança: busca a estimada com maior probabilidade possível entre os valores observados.

Trata-se de um método “complicado”, pois há uma função diferente de acordo com a distribuição da população.

Método de Mínimos Quadrados: busca a estimativa que resulta no menor valor para o quadrado das diferenças entre os valores observados e o estimador.

Método de Mínimos Quadrados

Em outros termos, busca minimizar o erro quadrático total da amostra.

Considerações Finais

Pessoal, chegamos ao final dos Conceitos Iniciais estatística para ISS-BH. Espero que tenham gostado.

Obviamente trata-se de um resumo apenas com os pontos principais da matéria, as aulas são bem aprofundadas em exemplos e explanações além de assuntos que também são importantes como a inferência Bayesiana (ou estatística Bayesiana), assim não deixe de acompanhar as aulas para o aprofundamento necessário.

A estatística, como as matérias de exatas no geral, só se aprende de fato por meio de muito exercícios, logo deixe de praticar.

Sistema de Questões (SQ) – Estratégia Concursos

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