QUESTÃO COMENTADA ESA: PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO x MÚLTIPLOS DE NATURAIS

Olá, queridos! Como vão os estudos?

Segue neste artigo, resolução de uma questão da Escola de Sargentos das Armas bastante interessante, que aborda conteúdos bem diferentes: Teoria dos Conjuntos e Múltiplos de Naturais.

Observe abaixo uma possível solução. Vamos nessa?

(EsSA-2008)

Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?

a) 100

b) 120

c) 140

d) 160

e) 180

Comentário:

Questão bem interessante, envolvendo Teoria de Conjuntos e Múltiplos de Naturais. Como sempre digo em meus cursos, ao iniciar a resolução de qualquer questão de matemática, tenha em mente que se deve anotar os principais dados do enunciado, para que possa trabalhar na resolução do problema. Assim, destacar quais dados podemos extrair desta questão! OK?

O enunciado nos fornece o conjunto universo, que é representado pelos números entre 100 a 1000.
Imaginemos que N = conjunto dos múltiplos de 9
Imaginemos que Q = conjunto dos múltiplos de 15
Imaginemos N interseção Q = conjunto dos múltiplos de 9 e 15, ao mesmo tempo. Ou seja, este conjunto é composto pelos números múltiplos de 45, que corresponde ao MMC de 9 e 15.

Vamos calcular a quantidade de múltiplos de 9 dentro do intervalo dado.

Para isso, temos que encontrar o múltiplo de 9 mais próximo de 100 que o ultrapassa, e o múltiplo mais próximo de 1000 que não o ultrapasse. Assim:

9 . 12 = 108

9 . 111 = 999

Observe que: de 12 a 111 temos, 100 números. Assim, a quantidade de múltiplos de 9 é 100.

Vamos calcular, agora, a quantidade de múltiplos de 15 dentro do intervalo dado.

Para isso, temos que encontrar o múltiplo de 15 mais próximo de 100 que o ultrapassa, e o múltiplo mais próximo de 1000 que não o ultrapasse. Assim, temos:

15 . 7 = 105

15 . 66 = 990

Observe que: de 7 a 66 temos, 60 números. Assim, a quantidade de múltiplos de 15 é 60.

Por fim, iremos calcular a quantidade de múltiplos de 45 dentro do intervalo dado.

Para isso, temos que encontrar o múltiplo de 45 mais próximo de 100 que o ultrapassa, e o múltiplo mais próximo de 1000 que não o ultrapasse. Assim, temos

45 . 3 = 135

45 . 22 = 990

Observe que: de 3 a 22 temos, 20 números. Assim, a quantidade de múltiplos de 45 é 20.

Resumindo: