Questão resolvida 02 (ITA)

Olá, guerreiros e guerreiras!

Neste artigo comentarei uma questão de CONJUNTOS que foi cobrada no concurso do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), em 2000.

QUESTÃO

(ITA – 2000) Denotaremos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito x. Sejam A, B, C conjuntos tais que n(AUB) = 8,   n(AUC) = 9   e   n(BUC) = 10,   n(AUBUC) = 11  e  n(A⋂B⋂C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a

a) 11

b) 14

c) 15

d) 18

e) 25

RESOLUÇÃO

A questão forneceu os seguintes dados:

– n(AUB) = 8;

– n(AUC) = 9;

– n(BUC) = 10;

– n(AUBUC) = 11;

– n(A⋂B⋂C) = 2;

– n(A) + n(B) + n(C) = ?

Resolveremos a questão através das fórmulas de conjuntos:

I) n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)

⟹ 8 = n(A) + n(B) – n(A⋂B)

⟹ n(A⋂B) = n(A) + n(B) – 8

II) n(AUC) = n(A) + n(C) – n(A⋂C)

⟹ 9 = n(A) + n(C) – n(A⋂C)

⟹ n(A⋂C) = n(A) + n(C) – 9

III) n(BUC) = n(B) + n(C) – n(B⋂C)

⟹ 10 = n(B) + n(C) – n(B⋂C)

⟹ n(B⋂C) = n(B) + n(C) – 10

Vamos substituir (I), (II) e (III) em (IV):

IV) n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A⋂B) – n(A⋂C) – n(B⋂C) + n(A⋂B⋂C)

⟹ n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A⋂B) – n(A⋂C) – n(B⋂C) + n(A⋂B⋂C)

⟹ 11 = n(A) + n(B) + n(C) – [n(A) + n(B) – 8] – [n(A) + n(C) – 9] – [n(B) + n(C) – 10] + 2

⟹ 11 = n(A) + n(B) + n(C) – n(A) – n(B) + 8 – n(A) – n(C) + 9 – n(B) – n(C) + 10 + 2

⟹ 11 = – n(A) + 8 – n(C) + 9 – n(B) + 10 + 2

⟹ n(A) + n(B) + n(C) = 8 + 9 + 10 + 2 – 11

⟹ n(A) + n(B) + n(C) = 18

GABARITO: D

Aqui termina o nosso artigo.

Um abraço!

Fiquem com DEUS e bons estudos.

Carlos Vitor