Progressão Aritmética

Aprenda os conceitos essenciais sobre progressão aritmética com um resumo para as principais provas de concursos.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

A Progressão Aritmética (PA) é um dos temas mais importantes da matemática e aparece com frequência em provas de concursos públicos. Esse conteúdo costuma ser cobrado em questões envolvendo sequências numéricas, padrões de crescimento, interpretação de tabelas e problemas contextualizados.

Em provas de bancas como FGV, FCC e Cebraspe, é comum encontrar questões que exigem identificar rapidamente o padrão da sequência e aplicar fórmulas de forma estratégica, principalmente em situações envolvendo termo geral e soma dos termos.

Neste artigo, você vai entender o conceito de progressão aritmética, aprender suas principais propriedades e resolver exemplos típicos de prova.

Confira os tópicos que serão abordados:

O que é a progressão aritmética;
Tipos de progressão aritmética;
Termo geral;
Propriedades;
Soma dos termos;
Exemplos resolvidos;
Resumo.

O Que é Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é sempre constante.

Essa diferença constante recebe o nome de razão da PA e normalmente é representada pela letra r.

Por exemplo:

2, 5, 8, 11, 14…

Observe que:

5 − 2 = 3
8 − 5 = 3
11 − 8 = 3

Logo:

r = 3

Estrutura geral

Uma PA pode ser representada por:

a₁, a₂, a₃, a₄…

Onde:

a₁ = primeiro termo;
a₂ = segundo termo;
a₃ = terceiro termo;
e assim por diante.

Tipos de Progressão Aritmética

Podemos classificar as progressões aritméticas em três tipos principais.

1) PA crescente

Ocorre quando a razão é positiva (r > 0).

Exemplo: 3, 6, 9, 12…

2) PA decrescente

Ocorre quando a razão é negativa (r < 0).

Exemplo: 20, 15, 10, 5…

3) PA constante

Ocorre quando todos os termos são iguais (r = 0).

Exemplo: 7, 7, 7, 7…

Termo Geral da Progressão Aritmética

O termo geral permite encontrar qualquer termo da PA sem precisar escrever toda a sequência.

Fórmula

a_n = a₁ + (n − 1)·r

Onde:

a_n = termo desejado (n-ésimo termo);
a₁ = primeiro termo;
n = posição do termo;
r = razão.

Exemplo

Determine o 10º termo da PA: 2, 5, 8, 11…

Dados:

a₁ = 2
r = 3
n = 10

Aplicando a fórmula do termo geral:

a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3

a₁₀ = 2 + 27 = 29

Propriedades da Progressão Aritmética

Veremos agora as duas principais propriedades de uma PA.

Termos equidistantes

Em uma PA, a soma de termos equidistantes dos extremos é sempre igual.

Por exemplo: 2, 4, 6, 8, 10

Temos:

2 + 10 = 12
4 + 8 = 12

Termo médio

Qualquer termo é sempre igual à média aritmética dos vizinhos.

Por exemplo: 3, 7, 11

Temos:

7 = (3 + 11)/2

Essa propriedade aparece bastante em questões rápidas de prova.

Soma dos Termos de Uma Progressão Aritmética

A soma dos termos de uma PA pode ser calculada rapidamente usando fórmula específica, que depende apenas do primeiro e do último termo da sequência.

Fórmula

Onde:

S_n = soma dos termos;
n = quantidade de termos;
a₁ = primeiro termo;
a_n = último termo.

Exemplo

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA: 2, 5, 8…

Resolução:

Primeiro, encontramos o 10º termo:

a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 29

Agora:

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1

Uma pessoa decide economizar dinheiro aumentando mensalmente R$ 50 em relação ao mês anterior. Se no primeiro mês ela guardou R$ 100, quanto guardará no 6º mês?

Resolução:

O valor economizado cresce de forma constante, caracterizando uma PA.

a₁ = 100
r = 50
n = 6

a₆ = 100 + (6 − 1)·50

a₆ = 100 + 250 = 350

Portanto, guardará R$ 350.

Exemplo 2

Calcule a soma: 1 + 3 + 5 + … + 15

Resolução:

Temos uma PA com:

a₁ = 1
a_n = 15
r = 2

Encontrando o número de termos:

15 = 1 + (n-1).2

n = 8

Agora, utilizamos a fórmula da soma:

Exemplo 3

A soma dos 20 primeiros termos de uma PA é igual a 460. Sabendo que o primeiro termo é igual 4, determine o último termo.

Resolução:

460 = 10(4 + a_n)

46 = 4 + a_n

a_n = 42

Resumo – Progressão Aritmética

Para te ajudar a revisar os principais pontos que vimos até aqui sobre progressão aritmética, de forma rápida e estratégica, preparamos um resumo:

Conceito	Fórmula/Ideia principal	Palavras-chave
Razão da PA	r = a_n − a_n−1	diferença constante
Termo geral	a_n = a₁ + (n−1)r	encontrar termo distante
Soma da PA	Sn = (a₁ + a_n)n/2	soma de sequência
PA crescente	r > 0	crescimento constante
PA decrescente	r < 0	redução constante
PA constante	r = 0	termos iguais

Finalizando

A Progressão Aritmética é um conteúdo fundamental para compreender padrões numéricos e resolver problemas envolvendo crescimento linear. O principal passo para resolver questões é identificar a existência de uma diferença constante entre os termos.

Além de dominar as fórmulas, o candidato precisa desenvolver a habilidade de interpretar corretamente o contexto do problema. Muitas questões aparecem disfarçadas em situações do cotidiano, exigindo atenção à regularidade dos valores apresentados.

Com prática, o reconhecimento desses padrões se torna mais rápido e natural, permitindo resolver questões com mais segurança e eficiência. Dominar Progressão Aritmética é essencial para construir uma base sólida em sequências numéricas e matemática para concursos.

É importante reforçar que este conteúdo deve ser utilizado como complemento ao material em PDF, onde a abordagem é aprofundada e completa. Além disso, é fundamental praticar com muitas questões, preferencialmente separadas por banca, para entender as diferentes formas de cobrança.

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Bons estudos e até a próxima!