Resumo das Distribuições Discretas para ISS-BH – Estatística

Olá, pessoal. Tudo certo? No artigo de hoje veremos o Resumo das Distribuições Discretas para ISS-BH.

Veremos as seguintes distribuições:

• Uniforme
• Bernoulli
• Binomial
• Geométrica
• Hipergeométrica
• Poisson

Preparado (a)? Vamos lá

Distribuição Uniforme

Iniciemos o Resumo das Distribuições Discretas para ISS-BH pela Distribuição Uniforme.

Na Distribuição Uniforme todos os valores são equiprováveis, ou seja, todos os elementos têm a mesma chance de serem sorteados.

• Esperança matemática

Como todos os valores têm a mesma probabilidade, a esperança matemática é calculada da mesma forma de a média “convencional”.

• Variância

Também é uma fórmula já conhecida, a média dos quadrados menos o quadrado da média.

Exemplo: FGV/2015 – TJ/RO Suponha que o número de advogados atendidos por um diretor de vara, por dia, é uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 11 e 25, inclusive. Então, se em um dia qualquer, até certo horário, 18 advogados foram atendidos, a probabilidade de que mais de 23 sejam atendidos naquele dia é:

Casos totais: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Os casos que queremos dividido pelos casos possíveis

24 ou 25 (mais de 23) / 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 (18 já foram atendidos)

2 / 8 = 0,25

Distribuição de Bernoulli

A Distribuição de Bernoulli trata-se de um experimento com 2 possíveis, realizados uma única vez.

Condições:

• 2 resultados possíveis: sucesso (X = 1) ou fracasso (X = 0)
• Experimento realizado uma única vez

Assim a probabilidade de sucesso P[X = 1]  = p e a probabilidade do fracasso será seu complemento P[X = 0] = q = 1 – p

• Esperança matemática

E (X) = P

Variância

v (X) = p x q

Distribuição Binomial

A Distribuição Binomial é basicamente a Distribuição de Bernoulli repetida várias vezes, ou seja, teremos dois resultados possíveis, porém vários ensaios independentes.

Para utilizarmos a Distribuição Binomial, temos que garantir que os ensaios sejam independentes, assim observe.

Condições para ensaio independente:

• Seleção com reposição; ou
• População infinita

Dissemos que a distribuição binominal é a repetição do ensaio de Bernoulli, assim veja que a esperança matemática e a variância são a mesma da Distribuição de Bernoulli vezes o número de ensaios (n).

• Esperança matemática

E (X) = n x p

Variância

V (X) = n x p x q

Exemplo: (2018 – Câmara de Goiânia) Considere uma variável aleatória X com distribuição binomial e parâmetros p = 1/3 e n = 4. Qual é a probabilidade de X = 2?

P (X = 2) = C4,2 x (1/3)² x (2/3)²

P (X = 2) = C4,2 x (1/3)² x (2/3)²

P (X = 2) = 6 x 1/9 x 4/9

P (X = 2) = 8/27

Distribuição Geométrica

A distribuição geométrica também se baseia nos ensaios de Bernoulli, entretanto a distribuição corresponde ao número de ensaios até o primeiro sucesso. Ou seja, vários fracassos até o primeiro sucesso – F + F + F …. P

• Esperança matemática

E (X) = 1/p

• Variância

Exemplo: (2018 – IPM – Adaptada) Sabe-se que a distribuição geométrica pode ser interpretada como uma sequência de ensaios de Bernoulli, independentes, até a ocorrência do primeiro sucesso. Qual o valor da média e da variância de uma distribuição geométrica cujo parâmetro é p = 0,64 e tendo como parametrização o número de ensaios de Bernoulli até se obter um sucesso.

A esperança matemática (média) será:

Média = 1 / 0,64

Média = 1,56

Enquanto a variância:

VAR = (1 – 0,64) / 0,64²

VAR = 0,36 / 0,4096

VAR = 0,88

Distribuição Hipergeométrica

Na distribuição hipergeométrica também temos dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), porém a seleção ocorre sem reposição, ou seja, os eventos não são independentes.

Onde,

• N = total
• S = total de “sucessos”
• n = amostra
• k = sucesso

Exemplo: Suponha que haja N= 10 peças, no total, das quais S = 4 peças sejam defeituosas. Se retirarmos n = 3 peças, a probabilidade de encontrar k = 2 defeituosas é:

P (X = 2) = C4,2 x C6,1 / C10,3

P (X = 2) = 6 x 6 / 120

P (X = 2) = 0,3 = 30%

Também é possível calcular sem utilizar fórmulas

Temos que selecionar duas peças defeituosas e outra boa, não é? Seria D D B

P = (4 / 10) x (3 / 9) x (6 x 8)

Entretanto pode ser em qualquer ordem e temos uma repetição, assim devemos utilizar a permuta com repetição

P = (4 / 10) x (3 / 9) x (6 x 8) x 3 x 2! /!

P = 30%

• Esperança matemática

E (X) = n.p

• Variância

Distribuição de Poisson

Para finalizar o Resumo das Distribuições Discretas para ISS-BH, vejamos sobre a Distribuição de Poisson.

A Distribuição de Poisson é utilizada como uma alternativa para quando “n” é muito grande e “p” é muito pequeno.

Podemos dizer que se trata de uma aproximação da Binomial para n -> ∞ e p -> 0

Obs.: O número neperiano “e” é aproximadamente 2,718

• Esperança matemática

A esperança matemática (média) é determinada pela demonstrada pela lambda.

λ = n x p

E (X) = λ

• Variância

Na Distribuição de Poisson o valor da lambda também demonstra o valor da variância.

v (X) = λ

Vale ressaltar os pressupostos da distribuição de Poisson.

• Homogeneidade (lambda) deve ser constante
• Independência das ocorrências em um intervalo, ou seja, independência dos eventos.

Exemplo: (FGV/2014 – TJ/BA) Suponha que a quantidade total de erros cometidos pelo judiciário segue o padrão de um Processo de Poisson com parâmetro λ = 4, relativo ao período de um ano. Então a probabilidade de que sejam cometidos exatamente três erros, nos próximos 18 meses, é igual a:

Se o lambda é 4 para um ano, logo para 18 meses (1 ano e meio)

Lambda = 4 x 1,5 = 6

Logo,

P (X = 3) = (e^-4 x 4³) / 3

Adotando 0,018 para e^-4

P (X = 3) = (0,018 x 64) / 3

P (X = 3) = 0,384

P (X = 3) = 38,4

Considerações Finais

Pessoal, chegamos ao final do Resumo das Distribuições Discretas para ISS-BH. Espero que o artigo tenha sido útil para sua revisão.

Lembre-se que se trata apenas de um resumo, assim não deixe de conferir a aula na íntegra para estudar o assunto de forma mais aprofundada (com exemplos, diversos exercícios resolvidos e etc.), além de outros assuntos como por exemplo a Distribuição Binomial Negativa.

Além disso, estatística só se aprende de fato praticando, assim não deixe de realizar muitas questões em nosso Sistema de Questões.

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Até mais e bons estudos!