Dicas para ter sucesso na prova discursiva do TJ RJ
Descubra tudo o que precisa saber sobre o mmc.
Olá pessoal, tudo bem?
A Matemática tem fama de ser complicada e muitas vezes dificulta a vida dos concurseiros país afora. Tabuada, fórmulas, cálculos, interpretação de problemas, regras e propriedades costumam ser reclamações constantes de quem não domina a matéria.
Um dos conceitos utilizados em vários conteúdos de Matemática é o mmc, conteúdo que iremos detalhar e tirar todas as suas dúvidas definitivamente.
Antes de mais nada precisamos entender o que é um múltiplo. De forma bem simplificada, múltiplo é a relação entre o produto (resultado de uma multiplicação) e os seus fatores (números multiplicados).
Por exemplo: na multiplicação 4 x 6 = 24, o número 24 é múltiplo de 6 e podemos dizer também que o 24 é múltiplo de 4. Do mesmo modo, podemos ainda dizer 4 e 6 são divisores de 24.
Vale destacar também que essas relações de múltiplos e divisores são apenas para números inteiros. Em síntese podemos dizer que toda vez que multiplicamos dois números inteiros, o resultado é um múltiplo desses números.
Assim, podemos dizer que o conjunto dos múltiplos de 4, por exemplo, é o M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, …}, pois resultam da multiplicação do 4 pelos números inteiros 0, 1, 2, 3, 4, … Podemos notar que esse conjunto é infinito (porque o conjunto de números inteiros que podemos multiplicar o 4 é infinito) e que o zero é múltiplo de todos os números (já que todos os números multiplicados por zero resultam em zero).
O mmc é o mínimo múltiplo comum a dois ou mais números, exceto o zero, ou seja, o menor número diferente de zero que está tanto no conjunto dos múltiplos de um número quanto do(s) outro(s). De forma ainda mais simplificada, pode ser conceituado como o menor número que “se encontra na tabuada” de dois ou mais números.
Para calcular o mmc são utilizados geralmente 3 métodos diferentes, porém, para concursos, não são recomendados os métodos mais demorados. Lembre-se de que o tempo é um fator que pode ser decisivo em um concurso e por isso deve ser bem administrado.
Além disso, precisamos adiantar um conceito que facilita o cálculo do mmc: o de fatoração em números primos. Esse mecanismo tem por objetivo decompor um número em multiplicação de números primos (números que só podem ser divididos por 1 e ele mesmo sem deixar resto).
Vamos adotar o 24 como exemplo novamente. Como vimos, o 24 pode ser representado como resultado da multiplicação de dois outros números (o 4 e o 6), porém essa não é a forma mais simples. Veja que o 4 é o resultado da multiplicação de 2 x 2 e o 6 como 2 x 3.
Observe também que o 2 e o 3 não podem ser decompostos em multiplicação de números inteiros menores (a não ser multiplicá-los pelo 1) assim como fizemos com o 4 e o 6. Ou seja, o 2 e o 3 são números primos.
Desse modo, a fatoração do 24 em números primos resulta da multiplicação dessas duas decomposições de seus divisores: 2 x 2 x 2 x 3 ou 23 x 3. Uma forma mais simples de fazer isso é realizar divisões sucessivas por números primos até obter 1 como resultado. Assim:
A seguir vamos analisar cada método.
Esse método consiste na listagem de múltiplos dos números analisados e verificação do menor número que coincide em todos os conjuntos. Como exemplo iremos calcular o mmc entre o 20 e o 24.
Múltiplos do 20 são M (20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, …}
Múltiplos do 24 são M (24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, …}
Observe que o 120 é o menor número diferente de zero que aparece nos dois conjuntos, sendo assim, o resultado que almejamos. Logo mmc (20;24) = 120.
Esse método não é muito recomendado para concursos já que demanda mais tempo para ser executado. Além disso, o mmc entre dois ou mais números pode ser um valor muito grande, tornando o cálculo cada vez mais difícil e demorado.
Esse método consiste em fatorar os números separados e selecionar as bases diferentes que possuem maior expoente. Vejamos um exemplo do mmc (20;24):
Esse método agiliza a descoberta do mmc, pois não depende de um processo com etapas não úteis (como listar os múltiplos que não servirão para mmc). Mesmo assim não é tão ágil quanto o próximo, já que demanda mais de uma fatoração.
Esse método consiste em dividir simultaneamente todos números por fatores primos até todos os valores finais igualarem a 1. Vejamos o exemplo em seguida:
É o método mais indicado para concursos em razão da objetividade do resultado. Porém, em casos específicos, o cálculo do mmc pode ser ainda mais rápido do que nesse método.
Alguns casos específicos podem possuir maneiras ainda mais rápidas de cálculo do mmc. Assim, é importante prestar atenção a essas dicas para não perder tempo:
Os cálculos em que o mmc já é o resultado geralmente envolvem questões que passam a ideia de simultaneidade, coincidência ou sincronismo. Listamos alguns exemplos em seguida.
Imagine que você precise somar dois pedaços de tamanhos diferentes de um bolo e dizer que fração do bolo inteiro a soma corresponde. Você pode saber quanto é a metade do bolo (1/2) ou quanto é 1/10 do bolo (o bolo dividido em 10 partes iguais), mas saberia dizer a que fração do bolo corresponde essas duas partes juntas?
Essa pergunta fica um pouco difícil de responder em razão dos tamanhos serem diferentes (a metade do bolo com certeza é um pedaço muito maior do que 1 décimo do bolo). A forma mais fácil de resolver isso seria dividir esse bolo em partes iguais para calcular.
Nesse exemplo, se eu dividir o bolo em 10 partes iguais, cada parte corresponderá a 1/10. Se das 10 partes pegarmos 5, teremos pegado a metade do bolo. Logo, a metade do bolo (5/10) e mais 1/10 serão pedaços do mesmo tamanho e poderemos dizer que temos 6 partes iguais do total de 10, ou seja, 6/10 do bolo inteiro.
O raciocínio que adotamos nada mais foi do que transformar os denominadores das frações (os números de baixo) em um mesmo número, encontrar frações equivalentes e somar os numeradores (números de cima). O menor número que podemos utilizar para igualar os denominadores é o mmc, que será útil para resolver soma e subtração de frações.
Em suma, o cálculo do mmc é um recurso importante para resolução de problemas que envolvem simultaneidade e cálculos de soma ou subtração de frações. Dominar essa técnica e resolver com agilidade pode ser um diferencial para aquela pontuação a mais em Matemática.
Assim, é importante que o candidato dedique um tempo ao estudo e exercícios desse conteúdo tão presente em provas. Não deixe que assuntos simples como esse sejam o vilão no seu desempenho nas provas.
Bons estudos!!!…
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