Propriedades dos Logaritmos

Aprenda os conceitos essenciais sobre as propriedades dos logaritmos com um resumo para as principais provas de concursos.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

As propriedades dos logaritmos são fundamentais para simplificar cálculos, resolver equações e interpretar expressões matemáticas envolvendo potências e crescimento exponencial. Em concursos públicos, esse tema aparece frequentemente em questões que exigem manipulação algébrica e aplicação estratégica das propriedades logarítmicas.

Em provas de bancas como FGV, FCC e Cebraspe, é comum encontrar questões em que o candidato precisa transformar produtos em somas, quocientes em diferenças ou simplificar expressões utilizando propriedades dos logaritmos. Muitas vezes, a dificuldade não está no cálculo em si, mas em identificar corretamente qual propriedade deve ser utilizada.

Neste artigo, você vai revisar os conceitos básicos dos logaritmos, aprender suas principais propriedades e entender como esse conteúdo costuma aparecer em prova.

Confira os tópicos que serão abordados:

• Logaritmo;
• Definições;
• Logaritmo do produto;
• Logaritmo do quociente;
• Logaritmo da potência;
• Mudança de base;
• Exemplos resolvidos;
• Resumo.

Logaritmo

O logaritmo responde à seguinte pergunta:

“A qual expoente devemos elevar uma base para obter determinado número?”

Definição fundamental

Se: a^x = b

Então: logₐ b = x

Onde:

• a = base do logaritmo;
• b = logaritmando;
• x = resultado do logaritmo.

Por exemplo

Como: 2³ = 8, temos: log₂ 8 = 3.

Condições de existência

Para o logaritmo existir:

• a > 0
• a ≠ 1
• b > 0

Essas condições aparecem bastante em pegadinhas de prova.

Consequências

Antes de entrar nas propriedades dos logaritmos, temos que memorizar três importantes consequências que ajudarão a simplificar os cálculos.

• logₐ 1 = 0, pois a⁰ = 1.
• logₐ a = 1, pois a¹ = a.
• logₐ a^x = x

Com as definições de logaritmo em mente, veremos agora as propriedades que mais caem em prova.

Propriedade do Logaritmo do Produto

logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y

Ideia principal: a propriedade transforma o logaritmo da multiplicação em uma soma de logaritmos.

Por exemplo:

log₂ (32 · 64) = log₂ 32 + log₂ 64

= 5 + 6

= 11

Propriedade do Logaritmo do Quociente

logₐ (x/y) = logₐ x − logₐ y

Ideia principal: a propriedade transforma o logaritmo da divisão em uma subtração de logaritmos.

Por exemplo:

log₂ (4/32) = log₂ 4 − log₂ 32

= 2 − 5

= – 3

Propriedade do Logaritmo da Potência

logₐ xⁿ = n · logₐ x

Ideia principal: no logaritmo da potência, o expoente “desce” multiplicando.

Por exemplo:

log₃ 81 = log₃ 9²

= 2 · log₃ 9

= 2 · 3 = 6

Mudança de Base

A mudança de base permite reescrever um logaritmo em outra base mais conveniente, escolhida por nós.

Por exemplo: transformando um logaritmo de base 9 em uma divisão de logaritmos de base 3.

Exemplos Resolvidos – Propriedades dos Logaritmos

Exemplo 1

Uma colônia de bactérias cresce segundo a fórmula: N = 5 · 2^t, onde N é o número de bactérias e t é o tempo em horas. Em determinado instante, a população atingiu 160 bactérias. Qual é o valor de t?

Resolução:

Temos:

5 · 2^t = 160

Dividindo ambos os lados por 5:

2^t = 32

Aplicando logaritmo dos dois lados:

log₂ 2^t = log₂ 32

Utilizando a propriedade da potência:

t · log₂ 2 = 5

Como: log₂ 2 = 1, temos:

t = 5 horas

Esse tipo de questão aparece bastante em problemas de crescimento populacional, investimentos e proliferação bacteriana.

Exemplo 2

Simplifique a expressão: log₂ 48 − log₂ 3 − log₂ 2.

Resolução:

Aplicando a propriedade do quociente:

log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48/3)

= log₂ 16 − log₂ 2

Agora novamente:

log₂ (16/2) = log₂ 8

Como: 2³ = 8, temos:

log₂ 8 = 3

Resposta: 3.

Resolver diretamente sem utilizar propriedades tornaria o cálculo muito mais trabalhoso. Questões desse tipo são comuns em provas da FGV e da FCC, que costumam explorar simplificações algébricas e manipulação estratégica de logaritmos.

Resumo – Propriedades dos Logaritmos

Para te ajudar a revisar os principais pontos que vimos até aqui sobre as propriedades dos logaritmos, de forma rápida e estratégica, preparamos um resumo:

Conceito	Regra	Dica
Definição	logb a = x ⇔ bx = a	Relação com potência
Consequências	logb 1 = 0 / logb b = 1 / logb bx = x / blogba = a	Memorizar padrões básicos
Produto	logb(x·y) = logb x + logb y	Multiplicação vira soma
Quociente	logb(x/y) = logb x – logb y	Divisão vira subtração
Potência	logb xn = n·logb x	Trazer expoente para frente
Mudança de base	logₐ b = logc b/logc a	Troca de base

Finalizando – Propriedades dos Logaritmos

As propriedades dos logaritmos são ferramentas extremamente úteis para simplificar expressões e resolver problemas envolvendo crescimento exponencial, equações e manipulação algébrica. Compreender o significado de cada propriedade é muito mais importante do que apenas decorar fórmulas.

Grande parte das dificuldades nesse tema surge da tentativa de aplicar propriedades mecanicamente, sem interpretar a estrutura da expressão. Por isso, desenvolver familiaridade com os padrões algébricos é essencial para resolver questões com mais segurança.

Com prática, a identificação da propriedade adequada se torna natural, permitindo resolver questões de forma mais rápida e eficiente. Dominar propriedades dos logaritmos fortalece bastante a base algébrica e melhora o desempenho em matemática para concursos.

É importante reforçar que este conteúdo deve ser utilizado como complemento ao material em PDF, onde a abordagem é aprofundada e completa. Além disso, é fundamental praticar com muitas questões, preferencialmente separadas por banca, para entender as diferentes formas de cobrança.

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Bons estudos e até a próxima!

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