Permutações Caóticas – Surpresa na FCC

Neste artigo, falarei um pouco sobre permutações caóticas – assunto recentemente cobrado em uma prova de Raciocínio Lógico da FCC.

Fala, pessoal!

Tudo bem?

Venho comentando que a FCC está cobrando uma enxurrada de assuntos implicitamente em seus editais.

Os assuntos mais cobrados em Raciocínio Matemático pela FCC são:

• Problemas envolvendo equações e sistemas do primeiro grau
• Regra de três
• Porcentagem
• Razão e Proporção
• Análise Combinatória
• Princípio da Casa dos Pombos
• Conjuntos Numéricos e expressões numéricas
• Problemas com frações
• Problemas com conjuntos
• Progressão Aritmética
• Problemas envolvendo equações do segundo grau

Clique aqui para conferir mais detalhes sobre Raciocínio Matemático na FCC.

Nos últimos dias, fiz uma profunda pesquisa em provas da FCC para tentar mapear tudo que a FCC pode cobrar dentro do tema “Raciocínio Matemático”.

Analisando as últimas provas de 2019, fiquei surpreso com a cobrança de um tema avançado de Análise Combinatória – as permutações caóticas.

Veja a questão:

(FCC 2019/Prefeitura do Recife – Assistente de Gestão Pública)

Os quatro funcionários de uma repartição trabalham cada um em uma mesa, todos na mesma sala. O chefe da repartição determinou que os funcionários trocassem de mesa entre si. Os funcionários podem ser realocados na sala de modo que nenhum funcionário passe a ocupar a mesa que ocupava antes da realocação 

a) de 4 maneiras diferentes. 

b) de 24 maneiras diferentes. 

c) de 9 maneiras diferentes. 

d) de 6 maneiras diferentes. 

e) de 12 maneiras diferentes.

Aparentemente é uma questão bem tranquila. Puro engano!

O assunto envolvido nessa questão não é tratado na esmagadora maioria de livros do Ensino Médio.

A questão só é factível porque o número de funcionários é bem pequeno, ou seja, o candidato poderia descrever todas as possibilidades e marcar a resposta.

Sejam (a, b, c, d) os funcionários em suas posições originais. Queremos realocar os funcionários de modo que nenhum ocupe a sua posição original. Dizemos que essa é uma permutação caótica (ou desarranjo).

As permutações caóticas são:

(b, a, d, c); (c, a, d, b); (d, a, b, c); (c, d, a, b); (d, c, a, b); (b, d, a, c); (b, c, d, a); (c, d, b, a) e (d, c, b, a).

Logo, há 9 maneiras diferentes de realocar os funcionários de modo que nenhum funcionário ocupe a posição original.

Veja que com 4 pessoas já é bastante complicado descrever todas as permutações caóticas.

E se fossem 5 pessoas ou 8 pessoas?

Cálculo das Permutações Caóticas

Apresento-lhes agora a fórmula para calcular o número de permutações caóticas (desarranjos) de n objetos:

O termo simplesmente indica que os sinais das frações vão sendo alternados.

Por exemplo, para n = 4, temos:

Veja o resultado para n = 6.

É claro que seria impossível você escrever todas as possibilidades à mão.

Mas, Guilherme, essa fórmula é muito complicada. Corro o risco de ficar nervoso e esquecê-la!

Calma, amigo. Agora vem a salvação. Existe uma maneira bem mais fácil e rápida de calcular o número de permutações caóticas.

É possível demonstrar que o número de permutações caóticas é o inteiro mais próximo de

Na expressão acima, e é a constante de Euler: e = 2,718…

Observe para o caso n = 6.

De fato, para n = 6, o número de permutações caóticas é 265.

Vamos voltar à questão da FCC.

(FCC 2019/Prefeitura do Recife – Assistente de Gestão Pública)

Os quatro funcionários de uma repartição trabalham cada um em uma mesa, todos na mesma sala. O chefe da repartição determinou que os funcionários trocassem de mesa entre si. Os funcionários podem ser realocados na sala de modo que nenhum funcionário passe a ocupar a mesa que ocupava antes da realocação 

a) de 4 maneiras diferentes. 

b) de 24 maneiras diferentes. 

c) de 9 maneiras diferentes. 

d) de 6 maneiras diferentes. 

e) de 12 maneiras diferentes.

Resolução

A questão pede o número de permutações caóticas de 4 elementos. O número de permutações caóticas é o inteiro mais próximo de

O inteiro mais próximo é 9. Logo, há 9 maneiras para realocar os funcionários de modo que nenhum ocupe a sua posição original.

Gabarito: C

Espero que tenham gostado! A partir de agora você vai torcer para cair permutação caótica outra vez. Assim, você vai deixar seus concorrentes para trás. :)

Forte abraço,

Guilherme Neves