Contador – Niterói – prova de Matemática Financeira resolvida

Caro aluno,

Segue abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira da prova de Contador da Prefeitura de Niterói, realizada no último domingo.

Se você vai fazer a prova de Fiscal de Tributos no próximo final de semana, repare que:

– haviam várias questões de cálculos simples/rápidos;

– aqueles temas que a FGV adora cobrar estavam presentes: taxa real, anuidades perpétuas, aplicação simples das fórmulas de juros;

– se você gravasse alguns números básicos em provas de matemática financeira, como 1,1^2 = 1,21; 1,05^2 = 1,1025 e 1,2^2 = 1,44, você economizaria um tempo precioso!

Notei a ausência de questões CONCEITUAIS, ao contrário do que vimos no ISS/Cuiabá 2015 (FGV). Talvez essa seja uma possibilidade para a prova de 12/Dezembro!!

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Uma instituição financeira oferece resgate do valor equivalente às reservas de um plano de benefícios perpétuos em uma única vez. O acordo dará quitação geral e definitiva dos benefícios, com a consequente extinção dos contratos. Para um cliente que recebe R$ 3.000,00 mensais, foi oferecido o valor do pagamento de R$ 60.000,00. Desconsidere impostos e taxas. A taxa mensal de juros compostos praticada pela instituição nesse tipo de operação foi:

(A) 5,0%;

(B) 5,5%;

(D) 8,0%;

(E) 10,2%

RESOLUÇÃO:

Temos uma renda perpétua R = 3.000 reais/mês que leva a um valor presente de VP = 60.000 reais. A taxa de juros é dada pela relação:

R = VP x j

3.000 = 60.000 x j

j = 3.000 / 60.000 = 3 / 60 = 1 / 20 = 5 / 100 = 5% ao mês

Resposta: A

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Uma aplicação de R$ 10.000,00, após dois meses, resultou em um montante de R$ 14.210,00. Considerando a incidência de imposto sobre o rendimento de 30% e a taxa mensal de inflação de 10%, a taxa de juros real durante o período de aplicação foi:

(A) 7,0%;

(B) 7,5%;

(D) 8,5%;

(E) 9,0%.

RESOLUÇÃO:

Temos um ganho de R$4.210 reais. Como deve ser pago 30% de imposto, então o ganho líquido é de 70% x 4.210 = 0,70 x 4.210 = 7 x 421 = 2.947 reais. Isso corresponde a um ganho percentual de 2.947 / 10.000 = 0,2947 = 29,47%. Portanto, esta é a nossa taxa aparente ou nominal (jn). Sendo a inflação de 10% ao mês, ao longo de 2 meses esta inflação é de 21% (basta obter a taxa bimestral equivalente a 10% ao mês).

Assim, podemos obter a taxa real do período lembrando que:

(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação)

(1 + taxa real) = (1 + 29,47%) / (1 + 21%)

(1 + taxa real) = 1,2947 / 1,21

(1 + taxa real) = 1,07

taxa real = 0,07 = 7%

Resposta: A

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um título de valor de face de R$ 15.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontado – desconto simples por fora ou desconto comercial – à taxa de desconto de 60% ao ano. O valor do desconto, em reais, foi:

(A) 1.500;

(B) 1.750;

(D) 2.250;

(E) 2.500.

RESOLUÇÃO:

Repare que 90 dias correspondem a 3 meses comerciais (de 30 dias cada), e que 60% ao ano corresponde a 60% / 12 = 5% ao mês. Assim, na fórmula do desconto comercial simples:

A = N x (1 – d x t)

A = 15.000 x (1 – 5% x 3)

A = 15.000 x (1 – 0,05 x 3)

A = 15.000 x (1 – 0,15)

A = 15.000 x (0,85)

A = 150 x 85

A = 12.750 reais

O desconto foi de D = N – A = 15.000 – 12.750 = 2.250 reais.

Resposta: D

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Considere a amortização de uma dívida pelo Sistema francês de amortização – tabela Price em três pagamentos, vencendo a primeira prestação um período após a liberação dos recursos, sendo que as duas primeiras parcelas de amortização são R$ 5.000,00 e R$ 5.500,00, respectivamente. O valor de cada prestação, em reais, é:

(A) 5.250;

(B) 5.500;

(D) 6.050;

(E) 6.655.

RESOLUÇÃO:

Repare que do primeiro para o segundo mês houve um acréscimo de 500 reais no total amortizado, o que significa que houve uma redução de 500 reais nos juros incidentes. Como os juros incidem sobre o saldo devedor, podemos associar essa redução de 500 reais nos juros com a redução no saldo devedor, que foi de 5000 reais no primeiro mês. Assim, a taxa de juros é tal que j = 500 / 5000 = 5 / 50 = 10 / 100 = 10%.

Note ainda que, com a amortização de 5500 reais no segundo mês, o saldo devedor cairá nesta quantia, de modo que os juros do terceiro mês cairão em 5500 x 10% = 550 reais, elevando a cota de amortização nesta mesma quantia. Assim, a terceira cota de amortização é de 5500 + 550 = 6050 reais.

Portanto, somando as três cotas de amortização temos o valor total da dívida:

VP = 5000 + 5500 + 6050 = 16550 reais

No primeiro mês tivemos juros de:

J = 16550 x 10% = 1655 reais

A prestação foi de:

P = 1655 + 5000 = 6655 reais

Essa é a prestação constante (afinal estamos no sistema francês).

Resposta: E

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um empréstimo por dois meses utilizando o regime de juros compostos de 10% ao mês equivale a um empréstimo utilizando o regime de juros simples, pelo mesmo período, de:

(A) 9,0% ao mês;

(B) 9,5% ao mês;

(D) 10,5% ao mês;

(E) 11,0% ao mês.

RESOLUÇÃO:

No regime composto sabemos que em 2 meses com taxa de 10%am temos o total de 21% de juros. Basta usar um exemplo simples, partindo de um capital de 100 reais:

M = 100 x (1 + 10%)^2 = 100 x 1,10^2 = 100 x 1,21 = 121 reais

Para obter esses mesmos 21% no regime simples basta usar a taxa de 21% / 2 = 10,5% ao mês.

Resposta: D

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um indivíduo precisa pagar três parcelas para quitar a compra de um terreno. São cobrados juros compostos de 30% ao semestre. As parcelas são de R$ 120.000,00; R$ 180.000,00 e R$ 338.000,00 e vencem em seis meses, um ano e dois anos, respectivamente. Esses três pagamentos podem ser substituídos por um único pagamento, daqui a um ano, no valor, em reais, de:

(A) 458.461,54;

(B) 518.461,54;

(D) 596.000,00;

(E) 638.000,00.

RESOLUÇÃO:

Para levar todos os pagamentos para t = 2 semestres (isto é, um ano), devemos adiantar o primeiro pagamento em 1 semestre, retornar o terceiro pagamento em 2 semestres, e adicionar ao segundo pagamento (que já está em t = 2 semestres). Assim:

VP (em t = 2 semestres) = 120.000×1,30 + 180.000 + 338.000 / 1,30^2

VP (em t = 2 semestres) = 12.000×13 + 180.000 + 338.000 / 1,69

VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 2×169.000 / 1,69

VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 2×100.000

VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 200.000

VP (em t = 2 semestres) = 536.000 reais

Resposta: C

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um capital está aplicado à taxa nominal de 20% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva semestral dessa aplicação é:

(A) 10,00%;

(B) 10,25%;

(D) 13,78%;

(E) 15,82%.

RESOLUÇÃO:

Uma taxa nominal de 20%aa com capitalização trimestral corresponde a uma taxa efetiva de 20% / 4 = 5% ao trimestre (afinal temos quatro trimestres em um ano). Para irmos dessa taxa efetiva para outra taxa efetiva, porém semestral, basta calcular a taxa semestral equivalente a 5% ao trimestre:

(1 + j)^t = (1 + jeq)^teq

Lembrando que teq = 1 semestre corresponde a t = 2 trimestres, temos:

(1 + 5%)^2 = (1 + jeq)^1

(1,05)^2 = 1 + jeq

1,1025 = 1 + jeq

jeq = 1,1025 – 1 = 0,1025 = 10,25% ao semestre

Resposta: B

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Um indivíduo pretende comprar um imóvel financiado em 60 meses utilizando o Sistema de Amortização Constante – SAC. Ele procurou uma instituição financeira que opera com vencimento da primeira prestação um mês após a liberação dos recursos, taxa de juros de 5% ao mês, e foi informado que, pela análise dos comprovantes de rendimentos, o limite máximo da prestação teria que ser de R$ 5.000,00. O valor máximo que ele pode financiar, em reais, é:

(A) 75.000;

(B) 100.000;

(D) 225.000;

(E) 300.000.

RESOLUÇÃO:

Para financiar o máximo possível, a nossa prestação inicial deve ser máxima, ou seja, P = 5000 reais. Sendo VP o valor a ser financiado, a amortização mensal é:

A = VP / n = VP / 60

Os juros incorridos no primeiro mês são de:

J = VP x j = VP x 5% = 0,05 VP

Portanto, a primeira prestação é tal que:

P = A + J

5000 = VP/60 + 0,05VP

Multiplicando todos os termos por 60, podemos eliminar o denominador:

60×5000 = 60xVP/60 + 60×0,05VP

300000 = VP + 3VP

300000 = 4VP

VP = 300000 / 4

VP = 75000 reais

Resposta: A

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Os juros sobre uma dívida são cobrados utilizando a convenção linear. A dívida será paga após um ano e meio, e a taxa de juros compostos anunciada pela instituição financeira é de 20% ao ano. A porcentagem de juros cobrados em relação ao principal é:

(A) 20%;

(B) 21%;

(D) 31%;

(E) 32%.

RESOLUÇÃO:

Seja C a dívida inicial. Temos um prazo de t = 1,5 ano e taxa composta de j = 20% ao ano. Na convenção linear, começamos usando a fórmula de juros compostos, considerando apenas a parte inteira do prazo (t = 1 ano):

M = C x (1 + j)^t

M = C x (1 + 20%)^1

M = 1,20C

Em seguida, aplicamos juros simples pela parte fracionária do prazo (t = 0,5 ano). Agora nosso capital inicial é 1,20C, que é o montante da primeira etapa:

M = (1,20C) x (1 + j x t)

M = (1,20C) x (1 + 20% x 0,5)

M = (1,20C) x (1 + 10%)

M = (1,20C) x 1,10

M = 1,32 C

Portanto, veja que temos um ganho de 0,32C, ou 32% do capital inicial (ou principal).

Resposta: E

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Foi realizado um investimento com um principal de R$ 10.000,00, gerando um montante de R$ 14.400,00, em dois anos. Considerando o regime de juros compostos, esse investimento rendeu no ano a taxa de:

(A) 19,5%;

(B) 20,0%;

(D) 22,0%;

(E) 22,5%.

RESOLUÇÃO:

Temos:

M = C x (1 + j)^t

14.400 = 10.000 x (1 + j)^2

1,44 = (1 + j)^2

1,2^2 = (1 + j)^2

1,2 = 1 + j

j = 1,2 – 1