Assim, vamos conhecer os principais pontos desse tema.<\/p>\n\n\n\n
Sem mais delongas, vamos l\u00e1.<\/p>\n\n\n\n
Princ\u00edpios Fundamentais da Contagem<\/h2>\n\n\n\n
Dando in\u00edcio ao Resumo da An\u00e1lise Combinat\u00f3ria ISS-BH, vamos ver os dois principais princ\u00edpios da contagem.<\/p>\n\n\n\n
- Princ\u00edpio Multiplicativo<\/span><\/strong> (multiplica\u00e7\u00e3o): ocorre quando os eventos s\u00e3o concomitantes<\/strong> (ocorre um E<\/span><\/strong> outro) -> m x<\/span> <\/strong>n …<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Exemplo<\/span>:<\/strong> (VUNESP\/2019 \u2013 Prefeitura de dois C\u00f3rregos\/SP) Em um grupo de pessoas, h\u00e1 12 homens e 13 mulheres. Com essas pessoas, uma dupla ser\u00e1 aleatoriamente formada, com um homem e uma mulher, para participar de um concurso. O n\u00famero total de possibilidades para a forma\u00e7\u00e3o dessa dupla \u00e9 igual a<\/p>\n\n\n\n
12 x<\/strong> 13 = 156 duplas poss\u00edveis<\/p>\n\n\n\n
Contagem de Divisores:<\/span> <\/strong>basta fatorar e utilizar a seguinte f\u00f3rmula – N\u00famero de Divisores = (expoente1 + 1) x (expoente2 + 1) …<\/p>\n\n\n\n
Exemplo: n\u00famero de divisores de 60<\/p>\n\n\n\n
60 = 2\u00b2 + 3\u00b9 + 5\u00b9<\/p>\n\n\n\n
Utilizando a f\u00f3rmula<\/p>\n\n\n\n
(2 + 1) x + (1 + 1) + (1 + 1) = 12<\/p>\n\n\n\n
- Princ\u00edpio Aditivo<\/span><\/strong> (soma): ocorre quando os eventos s\u00e3o mutuamente exclusivos<\/strong> (ocorre um OU<\/strong> <\/span>outro) -> m +<\/span> n<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Exemplo:<\/span><\/strong> (2017 \u2013 Conselho Regional de Educa\u00e7\u00e3o F\u00edsica\/CE) Numa estante encontram-se 4 dicion\u00e1rios de ingl\u00eas, 3 de espanhol e 2 de franc\u00eas. De quantas maneiras uma pessoa pode escolher dois dicion\u00e1rios dessa estante e que sejam de idiomas diferentes?<\/p>\n\n\n\n
Teremos que:<\/p>\n\n\n\n
– um livro de ingl\u00eas e<\/span><\/strong> um de espanhol; ou<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n
– um livro de ingl\u00eas e<\/span><\/strong> um de franc\u00eas; ou<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n
– um livro espanhol e<\/span><\/strong> um de franc\u00eas.<\/p>\n\n\n\n
(4 x<\/span><\/strong> 3) +<\/span><\/strong> (4 x<\/span><\/strong> 2) +<\/span><\/strong> (3 x<\/span><\/strong> 2) = 26<\/p>\n\n\n\n
Permuta\u00e7\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n
Dando continuidade ao Resumo da An\u00e1lise Combinat\u00f3ria ISS-BH, vamos revisar a permuta.<\/p>\n\n\n\n
Permuta\u00e7\u00e3o <\/span><\/strong>\u00e9 a t\u00e9cnica que permite calcular as diferentes possibilidades de se ordenar<\/strong> elementos (trocar elementos de lugar)<\/p>\n\n\n\n
\u00c9 muito comum associar a permuta a filas de pessoas ou objetos.<\/p>\n\n\n\n
Vamos conhecer os principais tipos de permuta\u00e7\u00e3o que s\u00e3o cobrados em prova.<\/p>\n\n\n\n
- Permuta\u00e7\u00e3o simples:<\/span><\/strong> Quantidade de maneiras de reordenar<\/strong> elementos distintos<\/strong> entre si.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Pn = n!<\/p>\n\n\n\n
Exemplo<\/span>:<\/strong> (FGV\/2019 \u2013 Prefeitura de Salvador\/BA) Trocando-se a ordem das letras da sigla PMS de todas as maneiras poss\u00edveis, obt\u00eam-se os anagramas dessa sigla. O n\u00famero desses anagramas \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
P3 = 3! = 6 ou simplesmente 3 x 2 x 1 = 6<\/p>\n\n\n\n
- Permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o:<\/span><\/strong> Quantidade de maneiras de reordenar n elementos, dos quais k elementos s\u00e3o repetidos<\/strong>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2021\/11\/13141359\/image-251.png\")
F\u00f3rmula – Permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Exemplo<\/span>: <\/strong>(VUNESP\/2019 \u2013 Prefeitura de Cerquilho\/SP – Adaptada) Com as letras F, F, G e G, o n\u00famero de agrupamentos diferentes de quatro letras \u00e9<\/p>\n\n\n\n
P = 4! \/ 2! 2!<\/p>\n\n\n\n
P = 4 x 3 x 2 \/ 2 x 2<\/p>\n\n\n\n
P = 6<\/p>\n\n\n\n
- Permuta\u00e7\u00e3o circular:<\/strong> <\/span>Quantidade de maneiras de reordenar elementos dispostos em c\u00edrculo,<\/li><\/ul>\n\n\n\n
PCn = (n \u2013 1)!<\/p>\n\n\n\n
Exemplo<\/span>: <\/strong>(2019 \u2013 Prefeitura de Ibia\u00e7\u00e1\/RS) O n\u00famero m\u00e1ximo de maneiras distintas que um grupo de cinco amigos pode se sentar ao redor de uma mesa circular para realizar um lanche coletivo \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
PC5 = (5 \u2013 1)!<\/p>\n\n\n\n
PC5 = 4! = 24<\/p>\n\n\n\n
Arranjo<\/h2>\n\n\n\n
O arranjo <\/span><\/strong>representa a sele\u00e7\u00e3o de elementos com import\u00e2ncia de ordem<\/strong>. Lembre-se disso!<\/p>\n\n\n\n
Vamos dividir o arranjo em dois.<\/p>\n\n\n\n
- Arranjo sem repeti\u00e7\u00e3o<\/strong>:<\/span> Quantidade de maneiras de sortear elementos (k) sem repeti\u00e7\u00e3o dentre todos os elementos (n), de modo que a ordem do sorteio importe.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
![\"Resumo](\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2021\/11\/13141414\/image-252.png\")
F\u00f3rmula – Arranjo sem repeti\u00e7\u00e3o<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Exemplo<\/span>: <\/strong>(VUNESP\/2019 \u2013 Prefeitura de Cerquilho\/SP) Na bilheteria de um teatro h\u00e1 apenas 5 ingressos \u00e0 venda para a se\u00e7\u00e3o de uma pe\u00e7a. Se 4 amigos comprarem ingressos para essa se\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o o n\u00famero total de posi\u00e7\u00f5es distintas em que esses amigos poder\u00e3o se acomodar no teatro \u00e9<\/p>\n\n\n\n
A = 5! \/ (5 \u2013 4)!<\/p>\n\n\n\n
A = 5! \/ 1!<\/p>\n\n\n\n
A = 120<\/p>\n\n\n\n
- Arranjo com repeti\u00e7\u00e3o<\/strong>: <\/span>Quantidade de maneiras de sortear elementos (k) com repeti\u00e7\u00e3o dentre todos os elementos (n), de modo que a ordem do sorteio importe.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2021\/11\/13141422\/image-253.png\")
F\u00f3rmula – Arranjo com repeti\u00e7\u00e3o <\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Combina\u00e7\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n
A Combina\u00e7\u00e3o <\/span><\/strong>tamb\u00e9m busca a sele\u00e7\u00e3o de elementos, entretanto diferentemente do arranjo, n\u00e3o h\u00e1 import\u00e2ncia de ordem.<\/p>\n\n\n\n
N\u00e3o confunda:<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n
- Arranjo<\/strong> <\/span>-> Ordem faz diferen\u00e7a<\/li>
- Combina\u00e7\u00e3o<\/strong> <\/span>-> Ordem n\u00e3o faz diferen\u00e7a<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Assim, para saber de qual estamos tratando \u00e9 necess\u00e1rio avaliar o contexto da quest\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
- Combina\u00e7\u00e3o simples:<\/strong> <\/span>Quantidade de maneiras de sortear elementos (k) com repeti\u00e7\u00e3o dentre todos os elementos (n), de modo que a ordem do sorteio n\u00e3o importe.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2021\/11\/13141503\/image-254.png\")
F\u00f3rmula – Combina\u00e7\u00e3o simples<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Exemplo<\/span>: <\/strong>(FGV\/2019 \u2013 Pref. Angra dos Reis\/RJ) Maria possui em casa quatro tipos de frutas: banana, mam\u00e3o, abacate e manga. Ela decidiu fazer uma vitamina com duas dessas frutas, batendo-as juntas com leite no liquidificador. O n\u00famero de vitaminas diferentes que Maria poder\u00e1 fazer \u00e9<\/p>\n\n\n\n
C = 4! \/ (4 \u2013 2)! x 2!<\/p>\n\n\n\n
C = 4! \/ 2! x 2!<\/p>\n\n\n\n
C = 4 x 3 x 2 \/ 2 x 2<\/p>\n\n\n\n
C = 6<\/p>\n\n\n\n
Obs.:<\/span><\/strong> A combina\u00e7\u00e3o de 0 elemento em n elementos Cn,0 \u00e9 igual a 1.<\/p>\n\n\n\n
Combina\u00e7\u00e3o completa:<\/span><\/strong> Quantidade de maneiras de sortear sem import\u00e2ncia de ordem, p objetos (ex: potes de sorvete), quando h\u00e1 n tipos diferentes (ex: marcas de sorvete).<\/p>\n\n\n\n
![\"Resumo](\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2021\/11\/13141512\/image-255.png\")
F\u00f3rmula – Combina\u00e7\u00e3o completa<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n Essa aqui \u00e9 um pouco mais complicada de entender, vamos ver por meio de um exemplo.<\/p>\n\n\n\n
Exemplo:<\/span> <\/strong>CEBRASPE (CESPE) – T\u00e9cnico Tribut\u00e1rio da Receita Estadual (SEFAZ RS)\/2018 – Se 7 kg de feij\u00e3o forem distribu\u00eddos para at\u00e9 quatro fam\u00edlias, de modo que cada uma delas receba um n\u00famero inteiro de quilos, ent\u00e3o, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se distribu\u00edrem esses 7 kg de feij\u00e3o para essas fam\u00edlias ser\u00e1 igual a<\/p>\n\n\n\n
CR = (4 – 1 + 7)! \/ (4 \u2013 1)! x 7!<\/p>\n\n\n\n
CR = 10! \/ 3! X 7!<\/p>\n\n\n\n
CR = 10 x 9 x 8 x 7 \/ 3 x 2! X 7!<\/p>\n\n\n\n
CR = 5 x 3 x 8<\/p>\n\n\n\n
CR = 120<\/p>\n\n\n\n
Considera\u00e7\u00f5es Finais<\/h2>\n\n\n\n
Pessoal, chegamos ao final do Resumo da An\u00e1lise Combinat\u00f3ria ISS-BH. Espero que o artigo tenha sido efetivo para seu aprendizado.<\/p>\n\n\n\n
Obviamente trata-se de um resumo apenas com os pontos principais da mat\u00e9ria, tendo outros temas correlacionados como a Parti\u00e7\u00e3o<\/strong> e Lemas de Kaplansky<\/strong>, assim n\u00e3o deixe de acompanhar as aulas para o aprofundamento necess\u00e1rio.<\/p>\n\n\n\n
Ainda, ressaltamos mais uma vez a import\u00e2ncia de praticar por exerc\u00edcios, assim fa\u00e7a muitas quest\u00f5es pelo nosso sistema de quest\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n
Sistema de Quest\u00f5es (SQ) \u2013 Estrat\u00e9gia Concursos<\/a><\/p>\n\n\n\n
Gostou do artigo? N\u00e3o deixe de seguir<\/p>\n\n\n\n
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Cursos e Assinaturas<\/h2>\n\n\n\n
- Combina\u00e7\u00e3o<\/strong> <\/span>-> Ordem n\u00e3o faz diferen\u00e7a<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Arranjo<\/strong> <\/span>-> Ordem faz diferen\u00e7a<\/li>
- Arranjo com repeti\u00e7\u00e3o<\/strong>: <\/span>Quantidade de maneiras de sortear elementos (k) com repeti\u00e7\u00e3o dentre todos os elementos (n), de modo que a ordem do sorteio importe.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Arranjo sem repeti\u00e7\u00e3o<\/strong>:<\/span> Quantidade de maneiras de sortear elementos (k) sem repeti\u00e7\u00e3o dentre todos os elementos (n), de modo que a ordem do sorteio importe.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Permuta\u00e7\u00e3o circular:<\/strong> <\/span>Quantidade de maneiras de reordenar elementos dispostos em c\u00edrculo,<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o:<\/span><\/strong> Quantidade de maneiras de reordenar n elementos, dos quais k elementos s\u00e3o repetidos<\/strong>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Permuta\u00e7\u00e3o simples:<\/span><\/strong> Quantidade de maneiras de reordenar<\/strong> elementos distintos<\/strong> entre si.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Princ\u00edpio Aditivo<\/span><\/strong> (soma): ocorre quando os eventos s\u00e3o mutuamente exclusivos<\/strong> (ocorre um OU<\/strong> <\/span>outro) -> m +<\/span> n<\/li><\/ul>\n\n\n\n