{"id":430591,"date":"2019-10-04T19:22:07","date_gmt":"2019-10-04T22:22:07","guid":{"rendered":"https:\/\/blog-estrategia.mystagingwebsite.com\/blog\/?p=430591"},"modified":"2019-10-04T20:28:41","modified_gmt":"2019-10-04T23:28:41","slug":"permutacoes-com-elementos-ordenados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/permutacoes-com-elementos-ordenados\/","title":{"rendered":"Permuta\u00e7\u00f5es com Elementos Ordenados"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Fala, pessoal!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tudo bem com voc\u00eas?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sextou!!!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">E o que isso quer dizer no Estrat\u00e9gia? Que produzimos ainda mais!!! :)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Escrevi recentemente diversos artigos sobre temas espinhosos de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria. Esses temas foram motivados por quest\u00f5es interessantes que apareceram em provas de concursos. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Eis os links dos artigos: <a href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/permutacoes-caoticas-surpresa-na-fcc\/\">Permuta\u00e7\u00f5es Ca\u00f3ticas<\/a>, <a href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/dica-sensacional-de-analise-combinatoria\/\">Parti\u00e7\u00f5es Ordenadas<\/a>, <a href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/os-lemas-de-kaplansky\/\">Lemas de Kaplansky<\/a> e <a href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/combinacoes-completas\/\">Combina\u00e7\u00f5es Completas<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O que me motivou a escrever este artigo de hoje foi uma quest\u00e3o que caiu no \u00faltimo domingo (29\/09\/2019) na prova para Assistente Administrativo da UFRPE.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Antes de come\u00e7armos o nosso bate-papo, deixo o convite para voc\u00eas seguirem o meu perfil no instagram <a href=\"http:\/\/www.instagram.com\/profguilhermeneves\">@profguilhermeneves<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D\u00ea uma olhada no enunciado e tente resolver.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>(SUGEP 2019\/UFRPE \u2013 Assistente Administrativo)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cinco corredores competiram em uma corrida: Fred, George, Helo\u00edsa, L\u00facia e Ronaldo. \u00c9 conhecido que:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211; Fred perdeu para George.<br \/>&#8211; L\u00facia ganhou de Helo\u00edsa.<br \/>&#8211; L\u00facia perdeu de George.<br \/>&#8211; George ganhou de Ronaldo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Supondo que n\u00e3o houve empates, quantas poss\u00edveis ordens de\nfinaliza\u00e7\u00e3o poderiam ter acontecido, dadas apenas essas informa\u00e7\u00f5es?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) 1<br \/>b) 6<br \/>c) 12<br \/>d) 18<br \/>e) 24<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quest\u00e3o que aparentemente \u00e9 bem simples, mas que derruba o aluno com pouca base em An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, n\u00e3o \u00e9 mesmo?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A quest\u00e3o mais antiga que me recordo nesse estilo foi na finada ESAF em 2004.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>(ESAF 2004\/MPU) <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Paulo possui tr\u00eas quadros de Gotuzo e tr\u00eas de Portinari e quer exp\u00f4-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros s\u00e3o assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apare\u00e7am ordenados entre si em ordem cronol\u00f3gica, da esquerda para a direita. O n\u00famero de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos \u00e9 igual a<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) 20<br \/> b) 30<br \/> c) 24<br \/> d) 120<br \/> e) 360<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vamos pensar na solu\u00e7\u00e3o desse problema espec\u00edfico e depois vamos bolar uma solu\u00e7\u00e3o geral.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se desconsiderarmos a restri\u00e7\u00e3o exigida pelo problema, deveremos apenas permutar os 6 quadros. Isso pode ser feito de<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/Captura-de-Tela-2019-10-04-\u00e0s-18.08.26-1024x73.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-430592\" width=\"450\" height=\"32\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vamos dar nomes aos quadros de Gotuzo: G1, G2, G3. Vamos considerar que essa ordem G1-G2-G3 \u00e9 justamente a ordem cronol\u00f3gica.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dessas 720 maneiras, os quadros de Gotuzo podem aparecer nas seguintes sequ\u00eancias (n\u00e3o necessariamente contiguamente, ou seja, um ao lado do outro).<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191002\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.09.49.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-430593\" width=\"165\" height=\"208\" srcset=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191002\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.09.49.png 426w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191002\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.09.49-238x300.png 238w\" sizes=\"auto, (max-width: 165px) 100vw, 165px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> Acima eu descrevi todas as poss\u00edveis permuta\u00e7\u00f5es dos 3 quadros de Gotuzo (3! = 6 maneiras de permutar os quadros de Gotuzo entre si).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">As 720 maneiras est\u00e3o regularmente distribu\u00eddas nas 6 possibilidades de organiza\u00e7\u00e3o cronol\u00f3gica descritas acima, ou seja, em cada uma das 6 possibilidades, h\u00e1 720\/6 = 120 maneiras de arrumar os quadros. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como queremos os quadros de Gotuzo fiquem na ordem  &#8230;G1&#8230;G2&#8230;G3&#8230;, ent\u00e3o apenas a primeira possibilidade nos interessa.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Resposta: 120<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Gabarito: D<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Solu\u00e7\u00e3o Geral<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">No problema anterior dos quadros de Gotuzo, n\u00f3s dividimos a permuta\u00e7\u00e3o de todos os 6 quadros (720 possibilidades) pelo n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es dos quadros que precisam ficar em determinada ordem (6 permuta\u00e7\u00f5es).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Assim, a resposta do problema foi 720\/6 = 120.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">De uma maneira geral, se <strong>vamos permutar n elementos dos quais k deles devem estar em uma determinada ordem<\/strong>, o total de permuta\u00e7\u00f5es ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191410\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.13.58.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-430595\" width=\"48\" height=\"77\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vamos fazer outro exemplo antes de resolvermos a quest\u00e3o da UFRPE?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Exemplo<\/strong>: Quantos s\u00e3o os anagramas da palavra ARREPIOU em que as vogais figuram em ordem alfab\u00e9tica, mas n\u00e3o necessariamente juntas?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O total de permuta\u00e7\u00f5es sem a restri\u00e7\u00e3o de que as vogais s\u00e3o ordenadas \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191509\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.14.58.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-430596\" width=\"107\" height=\"71\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">No c\u00e1lculo acima, devemos dividir por 2! porque h\u00e1 duas letras R repetidas (permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Entretanto, h\u00e1 5 elementos que devem obedecer determinada ordem (as 5 vogais). Assim, o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es pedido \u00e9<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191546\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.15.34.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-430597\" width=\"370\" height=\"91\" srcset=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191546\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.15.34.png 742w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191546\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.15.34-300x74.png 300w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191546\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.15.34-610x150.png 610w\" sizes=\"auto, (max-width: 370px) 100vw, 370px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Veja como agora ficar\u00e1 f\u00e1cil a quest\u00e3o da UFRPE.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>(SUGEP 2019\/UFRPE \u2013 Assistente Administrativo)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cinco corredores competiram em uma corrida: Fred, George, Helo\u00edsa, L\u00facia e Ronaldo. \u00c9 conhecido que:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&#8211; Fred perdeu para George.<br \/>&#8211; L\u00facia ganhou de Helo\u00edsa.<br \/>&#8211; L\u00facia perdeu de George.<br \/>&#8211; George ganhou de Ronaldo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Supondo que n\u00e3o houve empates, quantas poss\u00edveis ordens de\nfinaliza\u00e7\u00e3o poderiam ter acontecido, dadas apenas essas informa\u00e7\u00f5es?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">a) 1<br \/>b) 6<br \/>c) 12<br \/>d) 18<br \/>e) 24<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">George ganhou de Fred, L\u00facia e Ronaldo. Como L\u00facia ganhou de\nHelo\u00edsa, ent\u00e3o George tamb\u00e9m ganhou de Helo\u00edsa (j\u00e1 que George ganhou de L\u00facia).\nLogo, <strong>George ocupa o primeiro lugar<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Assim, devemos apenas nos preocupar nas posi\u00e7\u00f5es 2, 3, 4 e\n5.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Essas quatro posi\u00e7\u00f5es ser\u00e3o ocupadas por Fred, Helo\u00edsa, L\u00facia\ne Ronaldo. Portanto, devemos permutar essas 4 pessoas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O \u00fanico detalhe \u00e9 que L\u00facia ganhou de Helo\u00edsa, ou seja, elas devem ficar nessa ordem na fila (n\u00e3o necessariamente juntas). N\u00e3o h\u00e1 outras informa\u00e7\u00f5es no enunciado relacionando as outras pessoas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dessa forma, queremos permutar as 4 pessoas levando em considera\u00e7\u00e3o que h\u00e1 duas delas que devem obedecer determinada ordem. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Em casos como esse, devemos dividir o fatorial do total de pessoas pelo fatorial da quantidade de elementos que devem ficar em ordem.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">O total de permuta\u00e7\u00f5es poss\u00edveis \u00e9<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191721\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.17.09.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-430598\" width=\"250\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191721\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.17.09.png 508w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2019\/10\/04191721\/Captura-de-Tela-2019-10-04-%C3%A0s-18.17.09-300x87.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 250px) 100vw, 250px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Gabarito: C<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Espero que tenham gostado.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Um excelente fim de semana para todos. Forte abra\u00e7o,<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Guilherme Neves<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fala, pessoal! Tudo bem com voc\u00eas? Sextou!!! E o que isso quer dizer no Estrat\u00e9gia? Que produzimos ainda mais!!! :) Escrevi recentemente diversos artigos sobre temas espinhosos de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria. Esses temas foram motivados por quest\u00f5es interessantes que apareceram em provas de concursos. Eis os links dos artigos: Permuta\u00e7\u00f5es Ca\u00f3ticas, Parti\u00e7\u00f5es Ordenadas, Lemas de Kaplansky [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":739,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"post_tipo":"article","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"tax_estado":[],"class_list":["post-430591","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-cursos-e-concursos"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO Premium plugin v28.1 (Yoast SEO v28.1) - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-premium-wordpress\/ -->\n<title>Permuta\u00e7\u00f5es com Elementos Ordenados<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/permutacoes-com-elementos-ordenados\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Permuta\u00e7\u00f5es com Elementos Ordenados\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Fala, pessoal! 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