{"id":430591,"date":"2019-10-04T19:22:07","date_gmt":"2019-10-04T22:22:07","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=430591"},"modified":"2019-10-04T20:28:41","modified_gmt":"2019-10-04T23:28:41","slug":"permutacoes-com-elementos-ordenados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/permutacoes-com-elementos-ordenados\/","title":{"rendered":"Permuta\u00e7\u00f5es com Elementos Ordenados"},"content":{"rendered":"\n

Fala, pessoal!<\/p>\n\n\n\n

Tudo bem com voc\u00eas?<\/p>\n\n\n\n

Sextou!!!<\/p>\n\n\n\n

E o que isso quer dizer no Estrat\u00e9gia? Que produzimos ainda mais!!! :)<\/p>\n\n\n\n

Escrevi recentemente diversos artigos sobre temas espinhosos de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria. Esses temas foram motivados por quest\u00f5es interessantes que apareceram em provas de concursos. <\/p>\n\n\n\n

Eis os links dos artigos: Permuta\u00e7\u00f5es Ca\u00f3ticas<\/a>, Parti\u00e7\u00f5es Ordenadas<\/a>, Lemas de Kaplansky<\/a> e Combina\u00e7\u00f5es Completas<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

O que me motivou a escrever este artigo de hoje foi uma quest\u00e3o que caiu no \u00faltimo domingo (29\/09\/2019) na prova para Assistente Administrativo da UFRPE.<\/p>\n\n\n\n

Antes de come\u00e7armos o nosso bate-papo, deixo o convite para voc\u00eas seguirem o meu perfil no instagram @profguilhermeneves<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

D\u00ea uma olhada no enunciado e tente resolver.<\/p>\n\n\n\n

(SUGEP 2019\/UFRPE \u2013 Assistente Administrativo)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cinco corredores competiram em uma corrida: Fred, George, Helo\u00edsa, L\u00facia e Ronaldo. \u00c9 conhecido que:<\/p>\n\n\n\n

– Fred perdeu para George.
– L\u00facia ganhou de Helo\u00edsa.
– L\u00facia perdeu de George.
– George ganhou de Ronaldo.<\/p>\n\n\n\n

Supondo que n\u00e3o houve empates, quantas poss\u00edveis ordens de\nfinaliza\u00e7\u00e3o poderiam ter acontecido, dadas apenas essas informa\u00e7\u00f5es?<\/p>\n\n\n\n

a) 1
b) 6
c) 12
d) 18
e) 24<\/p>\n\n\n\n

Quest\u00e3o que aparentemente \u00e9 bem simples, mas que derruba o aluno com pouca base em An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, n\u00e3o \u00e9 mesmo?<\/p>\n\n\n\n

A quest\u00e3o mais antiga que me recordo nesse estilo foi na finada ESAF em 2004.<\/p>\n\n\n\n

(ESAF 2004\/MPU) <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Paulo possui tr\u00eas quadros de Gotuzo e tr\u00eas de Portinari e quer exp\u00f4-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros s\u00e3o assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apare\u00e7am ordenados entre si em ordem cronol\u00f3gica, da esquerda para a direita. O n\u00famero de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos \u00e9 igual a<\/p>\n\n\n\n

a) 20
b) 30
c) 24
d) 120
e) 360<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Vamos pensar na solu\u00e7\u00e3o desse problema espec\u00edfico e depois vamos bolar uma solu\u00e7\u00e3o geral.<\/p>\n\n\n\n

Se desconsiderarmos a restri\u00e7\u00e3o exigida pelo problema, deveremos apenas permutar os 6 quadros. Isso pode ser feito de<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Vamos dar nomes aos quadros de Gotuzo: G1, G2, G3. Vamos considerar que essa ordem G1-G2-G3 \u00e9 justamente a ordem cronol\u00f3gica.<\/p>\n\n\n\n

Dessas 720 maneiras, os quadros de Gotuzo podem aparecer nas seguintes sequ\u00eancias (n\u00e3o necessariamente contiguamente, ou seja, um ao lado do outro).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Acima eu descrevi todas as poss\u00edveis permuta\u00e7\u00f5es dos 3 quadros de Gotuzo (3! = 6 maneiras de permutar os quadros de Gotuzo entre si).<\/p>\n\n\n\n

As 720 maneiras est\u00e3o regularmente distribu\u00eddas nas 6 possibilidades de organiza\u00e7\u00e3o cronol\u00f3gica descritas acima, ou seja, em cada uma das 6 possibilidades, h\u00e1 720\/6 = 120 maneiras de arrumar os quadros. <\/p>\n\n\n\n

Como queremos os quadros de Gotuzo fiquem na ordem …G1…G2…G3…, ent\u00e3o apenas a primeira possibilidade nos interessa.<\/p>\n\n\n\n

Resposta: 120<\/p>\n\n\n\n

Gabarito: D<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Solu\u00e7\u00e3o Geral<\/h2>\n\n\n\n

No problema anterior dos quadros de Gotuzo, n\u00f3s dividimos a permuta\u00e7\u00e3o de todos os 6 quadros (720 possibilidades) pelo n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es dos quadros que precisam ficar em determinada ordem (6 permuta\u00e7\u00f5es).<\/p>\n\n\n\n

Assim, a resposta do problema foi 720\/6 = 120.<\/p>\n\n\n\n

De uma maneira geral, se vamos permutar n elementos dos quais k deles devem estar em uma determinada ordem<\/strong>, o total de permuta\u00e7\u00f5es ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Vamos fazer outro exemplo antes de resolvermos a quest\u00e3o da UFRPE?<\/p>\n\n\n\n

Exemplo<\/strong>: Quantos s\u00e3o os anagramas da palavra ARREPIOU em que as vogais figuram em ordem alfab\u00e9tica, mas n\u00e3o necessariamente juntas?<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

O total de permuta\u00e7\u00f5es sem a restri\u00e7\u00e3o de que as vogais s\u00e3o ordenadas \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

No c\u00e1lculo acima, devemos dividir por 2! porque h\u00e1 duas letras R repetidas (permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o).<\/p>\n\n\n\n

Entretanto, h\u00e1 5 elementos que devem obedecer determinada ordem (as 5 vogais). Assim, o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es pedido \u00e9<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Veja como agora ficar\u00e1 f\u00e1cil a quest\u00e3o da UFRPE.<\/p>\n\n\n\n

(SUGEP 2019\/UFRPE \u2013 Assistente Administrativo)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cinco corredores competiram em uma corrida: Fred, George, Helo\u00edsa, L\u00facia e Ronaldo. \u00c9 conhecido que:<\/p>\n\n\n\n

– Fred perdeu para George.
– L\u00facia ganhou de Helo\u00edsa.
– L\u00facia perdeu de George.
– George ganhou de Ronaldo.<\/p>\n\n\n\n

Supondo que n\u00e3o houve empates, quantas poss\u00edveis ordens de\nfinaliza\u00e7\u00e3o poderiam ter acontecido, dadas apenas essas informa\u00e7\u00f5es?<\/p>\n\n\n\n

a) 1
b) 6
c) 12
d) 18
e) 24<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

George ganhou de Fred, L\u00facia e Ronaldo. Como L\u00facia ganhou de\nHelo\u00edsa, ent\u00e3o George tamb\u00e9m ganhou de Helo\u00edsa (j\u00e1 que George ganhou de L\u00facia).\nLogo, George ocupa o primeiro lugar<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Assim, devemos apenas nos preocupar nas posi\u00e7\u00f5es 2, 3, 4 e\n5.<\/p>\n\n\n\n

Essas quatro posi\u00e7\u00f5es ser\u00e3o ocupadas por Fred, Helo\u00edsa, L\u00facia\ne Ronaldo. Portanto, devemos permutar essas 4 pessoas.<\/p>\n\n\n\n

O \u00fanico detalhe \u00e9 que L\u00facia ganhou de Helo\u00edsa, ou seja, elas devem ficar nessa ordem na fila (n\u00e3o necessariamente juntas). N\u00e3o h\u00e1 outras informa\u00e7\u00f5es no enunciado relacionando as outras pessoas.<\/p>\n\n\n\n

Dessa forma, queremos permutar as 4 pessoas levando em considera\u00e7\u00e3o que h\u00e1 duas delas que devem obedecer determinada ordem. <\/p>\n\n\n\n

Em casos como esse, devemos dividir o fatorial do total de pessoas pelo fatorial da quantidade de elementos que devem ficar em ordem.<\/p>\n\n\n\n

O total de permuta\u00e7\u00f5es poss\u00edveis \u00e9<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Gabarito: C<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Espero que tenham gostado.<\/p>\n\n\n\n

Um excelente fim de semana para todos. Forte abra\u00e7o,<\/p>\n\n\n\n

Guilherme Neves<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Fala, pessoal! Tudo bem com voc\u00eas? Sextou!!! E o que isso quer dizer no Estrat\u00e9gia? Que produzimos ainda mais!!! :) Escrevi recentemente diversos artigos sobre temas espinhosos de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria. Esses temas foram motivados por quest\u00f5es interessantes que apareceram em provas de concursos. 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