{"id":429912,"date":"2019-10-03T16:17:17","date_gmt":"2019-10-03T19:17:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=429912"},"modified":"2019-10-03T17:16:24","modified_gmt":"2019-10-03T20:16:24","slug":"combinacoes-completas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/combinacoes-completas\/","title":{"rendered":"Combina\u00e7\u00f5es Completas"},"content":{"rendered":"\n

Fala, pessoal!!<\/p>\n\n\n\n

Tudo bem?<\/p>\n\n\n\n

Antes de come\u00e7armos o artigo de hoje, deixo o convite para voc\u00eas seguirem o meu perfil no instagram @profguilhermeneves<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Sabemos que os concursos est\u00e3o cada vez mais concorridos e que os alunos est\u00e3o cada vez mais preparados. Consequentemente, as provas dos principais concursos est\u00e3o cada vez mais dif\u00edceis.<\/p>\n\n\n\n

Um dos assuntos mais temidos pelos alunos \u00e9 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria e, de vez em quando, as bancas colocam umas quest\u00f5es bem espinhosas. <\/p>\n\n\n\n

Como o nosso objetivo \u00e9 preparar os nossos alunos em n\u00edvel de excel\u00eancia, n\u00e3o escondemos quest\u00f5es nem assuntos dif\u00edceis. N\u00e3o ficamos fazendo i\u00e9-i\u00e9-i\u00e9 para que voc\u00eas fiquem felizes ACHANDO que aprenderam.<\/strong> Se tem algo dif\u00edcil que aparece em prova, n\u00f3s vamos te ensinar!<\/strong> :)<\/p>\n\n\n\n

J\u00e1 escrevi tr\u00eas artigos sobre assuntos avan\u00e7ados de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria que ca\u00edram recentemente em concursos: Permuta\u00e7\u00f5es Ca\u00f3ticas<\/a>, Parti\u00e7\u00f5es Ordenadas<\/a> e Lemas de Kaplansky<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Hoje vamos aprender sobre Combina\u00e7\u00f5es Completas<\/strong>, que tamb\u00e9m \u00e9 um assunto avan\u00e7ado de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria e que foi recentemente cobrado no \u00faltimo concurso da SEFAZ-RS<\/strong> (CESPE)<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Combina\u00e7\u00f5es Completas<\/h2>\n\n\n\n

Para introduzir este assunto, vou resolver uma quest\u00e3o\nantiga, mas bem interessante.<\/p>\n\n\n\n

(Petrobras 2008-2\/CESGRANRIO)<\/strong> Em um supermercado s\u00e3o vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja prefer\u00eancia por uma determinada marca, pode escolh\u00ea-las de N formas. O valor de N \u00e9<\/p>\n\n\n\n

(A) 3
(B) 10
(C) 15
(D) 35
(E) 125<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Esta \u00e9 uma quest\u00e3o \u201ccl\u00e1ssica\u201d que aparece nos bons livros de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria. Por outro lado, se o estudante nunca viu uma quest\u00e3o parecida como esta, \u00e9 muito dif\u00edcil ter este racioc\u00ednio SOZINHO na hora da prova.<\/p>\n\n\n\n

Imagine que temos um arm\u00e1rio para armazenar os refrigerantes.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Arm\u00e1rio<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Temos 5 marcas diferentes de refrigerante. Para separar as 5\nmarcas diferentes de refrigerante neste arm\u00e1rio, precisamos de 4 divis\u00f3rias. <\/p>\n\n\n\n

O n\u00famero de divis\u00f3rias \u00e9 sempre 1 a menos que o total de\nmarcas.<\/p>\n\n\n\n

Vamos considerar algumas marcas conhecidas de refrigerante. Coca-Cola, Guaran\u00e1 Antarctica, Fanta, Tuchaua (homenageando os alunos Amazonenses), Sprite.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Temos agora 3 latinhas de refrigerante para distribuir\nnestas divis\u00f3rias.<\/p>\n\n\n\n

H\u00e1 v\u00e1rias disposi\u00e7\u00f5es poss\u00edveis. Vejamos algumas:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
O cliente est\u00e1 levando 1 Coca-Coca e 2 Tuchauas<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
\"\"
O cliente est\u00e1 levando 1 Guaran\u00e1, 1 Fanta e 1 Sprite<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
\"\"
O cliente est\u00e1 levando 3 Tuchauas<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Resumindo: estamos permutando 7 objetos, a saber: as 4 divis\u00f3rias m\u00f3veis e as 3 latinhas.<\/p>\n\n\n\n

Vamos apagar agora os nomes das marcas.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

O n\u00famero total de possibilidades que h\u00e1 para o cliente comprar 3 refrigerantes dentre 5 marcas dispon\u00edveis sem prefer\u00eancia em rela\u00e7\u00e3o a alguma marca \u00e9 igual ao n\u00famero permuta\u00e7\u00f5es de 7 objetos dos quais 4 s\u00e3o iguais (as divis\u00f3rias) e 3 s\u00e3o iguais (as bolinhas).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Gabarito: D<\/strong><\/p>\n\n\n\n

O problema acima \u00e9 normalmente classificado como um problema de combina\u00e7\u00e3o completa<\/strong> (ou combina\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o). <\/p>\n\n\n\n

Os problemas de combina\u00e7\u00e3o completa no fundo podem ser resolvidos por permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o. Basta utilizar o racioc\u00ednio descrito acima.<\/p>\n\n\n\n

Por que \u00e9 um problema de combina\u00e7\u00e3o?<\/strong> Porque a ordem dos refrigerantes n\u00e3o importa. Tanto faz, por exemplo, comprar 2 Guaran\u00e1s e 1 Fanta ou 1 Fanta e 2 Guaran\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n

Por que “com repeti\u00e7\u00e3o”<\/strong>? Porque podemos ter objetos repetidos. Por exemplo, podemos comprar 3 Sprites.<\/p>\n\n\n\n

Observe que temos 5 qualidades para os objetos (5 marcas de refrigerante) e queremos escolher 3 objetos (3 latas). A ordem dos objetos n\u00e3o \u00e9 relevante (portanto, \u00e9 um problema de combina\u00e7\u00e3o) e podemos repetir os objetos (com repeti\u00e7\u00e3o).<\/p>\n\n\n\n

Observe ainda que, no racioc\u00ednio desenvolvido acima, o total de divis\u00f3rias \u00e9 igual a 5 \u2013 1 = 4 (com 4 divis\u00f3rias temos 5 lugares no arm\u00e1rio).<\/p>\n\n\n\n

De uma maneira geral, digamos que h\u00e1 n qualidades de objetos\ne queremos selecionar p objetos.<\/p>\n\n\n\n

Adotando o racioc\u00ednio acima, teremos (n \u2013 1) prateleiras e p objetos. Assim, permutaremos (p+n-1) entes dos quais h\u00e1 repeti\u00e7\u00e3o de (n \u2013 1) prateleiras e p objetos.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

A nota\u00e7\u00e3o (s\u00edmbolo) para a combina\u00e7\u00e3o completa \u00e9 a que segue:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Para voc\u00ea n\u00e3o precisar decorar mais uma f\u00f3rmula, \u00e9 importante saber a rela\u00e7\u00e3o entre a combina\u00e7\u00e3o completa e a combina\u00e7\u00e3o simples.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Em suma, voc\u00ea pode trocar a f\u00f3rmula de uma combina\u00e7\u00e3o completa por uma combina\u00e7\u00e3o simples. Para tanto, basta substituir n por n+p-1.<\/p>\n\n\n\n

No nosso problema anterior, h\u00e1 5 marcas de refrigerante. Isso \u00e9 o que temos dispon\u00edvel. Portanto, n = 5. Queremos escolher 3 latas de refrigerante. Portanto, p = 3.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Vamos trocar a combina\u00e7\u00e3o completa por uma combina\u00e7\u00e3o simples. Para tanto, vamos substituir n = 5 por n + p – 1 = 5 + 3 – 1 = 7.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Agora \u00e9 s\u00f3 calcular a combina\u00e7\u00e3o simples. Esse c\u00e1lculo \u00e9 feito da seguinte maneira: teremos uma fra\u00e7\u00e3o. Colocaremos o fatorial do menor dos n\u00fameros no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. <\/p>\n\n\n\n

E o numerador? Devemos expandir o n\u00famero 7 na mesma quantidade de fatores do denominador (3 fatores).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Mesmo valor que hav\u00edamos encontrado anteriormente com o racioc\u00ednio das divis\u00f3rias no arm\u00e1rio.<\/p>\n\n\n\n

Vamos fazer mais um exemplo parecido para treinar a f\u00f3rmula?<\/p>\n\n\n\n

Exemplo: De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em uma loja onde h\u00e1 3 tipos de refrigerante?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Este exemplo \u00e9 muito parecido com o anterior.\nEntretanto, no problema anterior, havia 5 tipos de refrigerante e quer\u00edamos comprar\n3 latas.<\/p>\n\n\n\n

Agora s\u00e3o 3 tipos de refrigerante e queremos comprar 5.<\/p>\n\n\n\n

Como s\u00e3o 3 tipos de refrigerante, precisamos de 2\ndivis\u00f3rias para separar as marcas.<\/p>\n\n\n\n

Assim, iremos permutar ao todo 5 + 2 = 7 objetos com repeti\u00e7\u00e3o de 5 e de 2.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Vamos resolver o mesmo problema com a dica da combina\u00e7\u00e3o completa. S\u00e3o 3 tipos de refrigerante. Portanto, n = 3. Queremos selecionar 5 objetos. Portanto, p = 5.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Podemos trocar essa combina\u00e7\u00e3o completa por uma combina\u00e7\u00e3o simples. Para tanto, basta trocar n = 3 por n + p – 1 = 3 + 5 – 1 = 7.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Agora lembre-se de uma importante propriedade das combina\u00e7\u00f5es simples (para ganhar tempo). Como 5 \u00e9 “grande”, podemos troc\u00e1-lo pela diferen\u00e7a 7 – 5 = 2.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

(CESPE 2018\/SEFAZ-RS)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Se 7 kg de feij\u00e3o forem distribu\u00eddos para at\u00e9 quatro\nfam\u00edlias, de modo que cada uma delas receba um n\u00famero inteiro de quilos, ent\u00e3o,\nnesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se distribu\u00edrem esses 7 kg de\nfeij\u00e3o para essas fam\u00edlias ser\u00e1 igual a<\/p>\n\n\n\n

a) 30.
b) 120.
c) 330.
d) 820.
e) 1.320.<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Para facilitar o racioc\u00ednio, imagine que h\u00e1 7 sacos com 1kg\nde feij\u00e3o cada.<\/p>\n\n\n\n

H\u00e1 4 fam\u00edlias dispon\u00edveis e devemos escolher o destino de\ncada um dos 7 sacos de feij\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 importante notar que a ordem das fam\u00edlias escolhidas n\u00e3o importa. Al\u00e9m disso, cada fam\u00edlia pode ser escolhida mais de uma vez. Exemplo:<\/p>\n\n\n\n

AAABBCC = ABCABCA<\/p>\n\n\n\n

Nas duas situa\u00e7\u00f5es acima, a fam\u00edlia A receber\u00e1 3kg de feij\u00e3o,\na fam\u00edlia B receber\u00e1 2kg de feij\u00e3o e a fam\u00edlia C receber\u00e1 2 kg de feij\u00e3o (a\nfam\u00edlia D receber\u00e1 0kg).<\/p>\n\n\n\n

Juntando as pe\u00e7as: h\u00e1 4 fam\u00edlias dispon\u00edveis e devemos escolher qual fam\u00edlia receber\u00e1 cada um dos 7 sacos de feij\u00e3o (deveremos fazer 7 escolhas). Al\u00e9m disso, a ordem das fam\u00edlias n\u00e3o importa (logo, devemos usar combina\u00e7\u00f5es) e cada fam\u00edlia pode ser escolhida mais de uma vez (logo, devemos usar combina\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o).<\/p>\n\n\n\n

Assim, o total de maneiras de se distribu\u00edrem os 7kg de feij\u00e3o \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Lembre-se que C(10,7) = C(10,3). Logo, a resposta \u00e9<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

A situa\u00e7\u00e3o descrita no enunciado pode ser perfeitamente\nmodelada pelo exemplo da prateleira que utilizei na teoria sobre combina\u00e7\u00f5es\ncompletas.<\/p>\n\n\n\n

Imagine que temos 7 sacos de 1 kg de feij\u00e3o. Queremos distribu\u00ed-los\npara AT\u00c9 4 fam\u00edlias. Isso quer dizer que alguma fam\u00edlia pode ficar sem feij\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

O que vamos fazer? Vamos construir uma prateleira com\ndivis\u00f3rias m\u00f3veis. Nessa prateleira, teremos 3 divis\u00f3rias, pois queremos\ndistribuir os sacos de feij\u00e3o entre 4 fam\u00edlias.<\/p>\n\n\n\n

Vou representar cada saco de feij\u00e3o por uma bolinha. Observe.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Percebeu o porqu\u00ea de serem 3 divis\u00f3rias? Com 3 divis\u00f3rias, a\nprateleira fica dividida em 4 regi\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n

Vamos agora colocar 7 bolinhas, que correspondem aos sacos de feij\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Na configura\u00e7\u00e3o acima, a primeira fam\u00edlia recebeu 2kg de\nfeij\u00e3o, a segunda fam\u00edlia recebeu 1 kg de feij\u00e3o, a terceira fam\u00edlia recebeu\n4kg de feij\u00e3o e a quarta fam\u00edlia ficou sem feij\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

Para distribuir os sacos de feij\u00e3o, eu posso movimentar tanto os sacos de feij\u00e3o (as bolinhas) quanto as divis\u00f3rias (os tra\u00e7os). Vou movimentar duas bolinhas, por exemplo.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Veja que eu vou movimentar agora a segunda divis\u00f3ria para a direita.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Assim, podemos reorganizar a distribui\u00e7\u00e3o dos sacos\nmovimentando os tra\u00e7os ou as bolinhas. <\/p>\n\n\n\n

Portanto, o total de maneiras de distribuir os 7 kg de feij\u00e3o em at\u00e9 4 fam\u00edlias \u00e9 o total de permuta\u00e7\u00e3o de 10 objetos (7 bolinhas e 3 tra\u00e7os), sendo que temos repeti\u00e7\u00e3o de 7 bolas e 3 tra\u00e7os.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Poder\u00edamos, entretanto, interpretar o problema sob outra \u00f3tica.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Solu\u00e7\u00f5es Inteiras de Equa\u00e7\u00f5es<\/h2>\n\n\n\n

Sejam a, b, c, d<\/strong> as quantidades em quilogramas de feij\u00e3o recebidas por cada uma das fam\u00edlias. Sabemos que esses n\u00fameros s\u00e3o inteiros (de acordo com o enunciado). <\/p>\n\n\n\n

Al\u00e9m disso, esses n\u00fameros n\u00e3o podem\nser negativos (mas podem ser zero).<\/p>\n\n\n\n

Finalmente, sabemos que a quantidade total de quilogramas de feij\u00e3o \u00e9 7. Logo,<\/p>\n\n\n\n

a + b + c + d = 7 <\/p>\n\n\n\n

O enunciado pode ent\u00e3o ser reescrito da seguinte forma: quantas s\u00e3o as solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o-negativas da equa\u00e7\u00e3o a + b + c + d = 7<\/strong> ?<\/p>\n\n\n\n

Hav\u00edamos visto que a resposta desse problema \u00e9 \"\"<\/p>\n\n\n\n

Assim, podemos interpretar \"\" de duas maneiras:<\/p>\n\n\n\n

  • \u00c9 a quantidade de maneiras de selecionar p<\/strong> objetos, distintos ou n\u00e3o, entre n<\/strong> objetos dados (a ordem dos objetos n\u00e3o \u00e9 relevante).<\/li><\/ul>\n\n\n\n
    • \u00c9 o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o-negativas da equa\u00e7\u00e3o \"\"<\/li><\/ul>\n\n\n\n

      Como a equa\u00e7\u00e3o a + b + c + d = 7<\/strong> possui 4 inc\u00f3gnitas, ent\u00e3o n = 4<\/strong>. Logo, o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o negativas dessa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 <\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Lembre-se que C(10,7) = C(10,3). Logo, a resposta \u00e9<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Vamos agora aprofundar um pouco mais no tema sobre quantidade de solu\u00e7\u00f5es inteiras de uma equa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

      (CESPE 2011\/SEDUC-AM)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      A equa\u00e7\u00e3o \"\" possui mais de 200 solu\u00e7\u00f5es inteiras e n\u00e3o negativas.<\/p>\n\n\n\n

      Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      H\u00e1 3 inc\u00f3gnitas; logo, n = 3. A soma das inc\u00f3gnitas \u00e9 18. Logo, p = 18.O n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o-negativas da equa\u00e7\u00e3o \u00e9<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Gabarito: Errado<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Exemplo: Quantas s\u00e3o as solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas<\/strong> de x + y + z = 10 ?<\/p>\n\n\n\n

      Cuidado com a pegadinha!<\/p>\n\n\n\n

      Nos problemas anteriores, poder\u00edamos assumir valor 0 para alguma\ndas inc\u00f3gnitas. Nessa quest\u00e3o, queremos que todos as inc\u00f3gnitas sejam\npositivas!<\/p>\n\n\n\n

      Existe uma maneira de transformar esse problema no anterior:\nbasta fazer uma mudan\u00e7a de inc\u00f3gnita.<\/p>\n\n\n\n

      Fa\u00e7amos <\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Dessa maneira, se a = 0, temos que x = 1. Assim, se a, b ou c forem iguais a zero, x, y ou z ser\u00e3o iguais a 1. A equa\u00e7\u00e3o fica:<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Resumindo: a quantidade de solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas de x + y + z = 10 equivale \u00e0 quantidade de solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o-negativas de a + b + c = 7.<\/p>\n\n\n\n

      A resposta \u00e9<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n
      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      (EXATUS 2014\/CEB \u2013 Companhia Energ\u00e9tica de Bras\u00edlia)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Carlos deve guardar uma d\u00fazia de figurinhas iguais em meia\ndezena de estojos. Considerando que os estojos sejam todos diferentes, e que\nnenhum estojo fique vazio, o n\u00famero de maneiras que Carlos disp\u00f5e para guardar\nessas figurinhas \u00e9 igual a:<\/p>\n\n\n\n

      a) 330.
      b) 792.
      c) 1.820.
      d) 95.040<\/p>\n\n\n\n

      Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Essa quest\u00e3o \u00e9 muito parecida com as dos sacos de feij\u00e3o:\ntemos 12 figurinhas (uma d\u00fazia) para distribuir em 5 estojos (meia dezena). No\nproblema dos sacos de feij\u00e3o, t\u00ednhamos 7 sacos de feij\u00e3o para distribuir entre\n4 fam\u00edlias.<\/p>\n\n\n\n

      A diferen\u00e7a \u00e9 que, no problema dos sacos de feij\u00e3o, nem\ntodas as fam\u00edlias eram obrigadas a receber algum saco de feij\u00e3o, ou seja,\npoderia alguma fam\u00edlia ficar sem comida. Por isso, naquele problema, calculamos\no n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es n\u00e3o-negativas, pois as inc\u00f3gnitas poderiam ser nulas.<\/p>\n\n\n\n

      Agora nenhum estojo ficar\u00e1 vazio<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

      Sejam a, b, c, d, e<\/strong> as quantidades de figurinhas que cada estojo receber\u00e1. Como S\u00e3o 12 figurinhas, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

      a + b + c + d + e = 12<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Como nenhum estojo ficar\u00e1 vazio, ent\u00e3o queremos saber a\nquantidade de solu\u00e7\u00f5es positivas da equa\u00e7\u00e3o acima.<\/p>\n\n\n\n

      Vamos mudar as inc\u00f3gnitas conforme o racioc\u00ednio que aprendemos no exemplo anterior.<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Logo, podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Perceba que essas novas inc\u00f3gnitas podem ser nulas. Ora, basta perceber que se v = 0, teremos a = 1.<\/p>\n\n\n\n

      Como essas novas inc\u00f3gnitas podem ser nulas, queremos calcular a quantidade de solu\u00e7\u00f5es n\u00e3o-negativas dessa equa\u00e7\u00e3o. Como s\u00e3o 5 inc\u00f3gnitas, temos n = 5. A resposta \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Gabarito: A<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Vou alterar um pouquinho o problema anterior para deix\u00e1-lo\num pouco mais espinhoso.<\/p>\n\n\n\n

      (EXATUS 2014\/CEB \u2013 Companhia Energ\u00e9tica de Bras\u00edlia –\nAdaptado)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Carlos deve guardar duas d\u00fazias de figurinhas iguais em meia\ndezena de estojos. Considerando que os estojos sejam todos diferentes, e que\ncada estojo tenha pelo menos tr\u00eas figurinhas, o n\u00famero de maneiras que Carlos\ndisp\u00f5e para guardar essas figurinhas \u00e9 igual a:<\/p>\n\n\n\n

      a) 700.
      b) 715.
      c) 1430.
      d) 2860.<\/p>\n\n\n\n

      Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Sejam a, b, c, d, e<\/strong> as quantidades de figurinhas que cada estojo receber\u00e1. Como s\u00e3o 24 figurinhas, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

      a + b + c + d + e = 24<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Agora temos a restri\u00e7\u00e3o de que cada inc\u00f3gnita tem que ser no m\u00ednimo igual a 3, ou seja:<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Utilizando o mesmo racioc\u00ednio, vamos utilizar a seguinte mudan\u00e7a de inc\u00f3gnita:<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      A nossa equa\u00e7\u00e3o fica:<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Como essas inc\u00f3gnitas podem ser nulas, ent\u00e3o queremos calcular a quantidade de solu\u00e7\u00f5es n\u00e3o-negativas dessa equa\u00e7\u00e3o. Como s\u00e3o 5 inc\u00f3gnitas, ent\u00e3o n = 5. A resposta \u00e9<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Gabarito: B<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Espero que tenham gostado.<\/p>\n\n\n\n

      Um forte abra\u00e7o,<\/p>\n\n\n\n

      Guilherme Neves<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Fala, pessoal!! Tudo bem? Antes de come\u00e7armos o artigo de hoje, deixo o convite para voc\u00eas seguirem o meu perfil no instagram @profguilhermeneves. Sabemos que os concursos est\u00e3o cada vez mais concorridos e que os alunos est\u00e3o cada vez mais preparados. Consequentemente, as provas dos principais concursos est\u00e3o cada vez mais dif\u00edceis. 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