{"id":426747,"date":"2019-09-28T18:35:18","date_gmt":"2019-09-28T21:35:18","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=426747"},"modified":"2019-09-29T13:24:36","modified_gmt":"2019-09-29T16:24:36","slug":"os-lemas-de-kaplansky","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/os-lemas-de-kaplansky\/","title":{"rendered":"Os Lemas de Kaplansky"},"content":{"rendered":"\n

Fala,\npessoal!<\/p>\n\n\n\n

Tudo bem?<\/p>\n\n\n\n

Antes de come\u00e7armos o artigo de hoje, deixo o convite para voc\u00eas seguirem o meu perfil no instagram @profguilhermeneves<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Recentemente escrevi um artigo sobre uma quest\u00e3o da FCC que envolvia o conceito de Permuta\u00e7\u00f5es Ca\u00f3ticas. Clique aqui<\/a> para ler o artigo.<\/p>\n\n\n\n

Permuta\u00e7\u00e3o Ca\u00f3tica \u00e9 um assunto avan\u00e7ado de Estat\u00edstica e\nquase n\u00e3o aparece nos livros de Ensino M\u00e9dio.<\/p>\n\n\n\n

Fiquei ent\u00e3o pensando: ser\u00e1 que j\u00e1 apareceu alguma quest\u00e3o\nde outro assunto avan\u00e7ado de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria?<\/p>\n\n\n\n

Tive vontade de escrever um pouco sobre os Lemas de Kaplansky<\/strong>, mas n\u00e3o fui em frente porque ainda n\u00e3o havia encontrado alguma quest\u00e3o de concurso sobre o tema.<\/p>\n\n\n\n

Agora eu encontrei. :)<\/p>\n\n\n\n

Eis a quest\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

(FGV 2015\/SSP-AM\n\u2013 Assistente Operacional)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Sete pessoas formam\numa fila e duas delas ser\u00e3o escolhidas para receber um brinde. O n\u00famero de\nmaneiras diferentes de escolher duas pessoas da fila que n\u00e3o sejam vizinhas \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

a) <\/strong>15;<\/p>\n\n\n\n

b) <\/strong>18;<\/p>\n\n\n\n

c) <\/strong>20;<\/p>\n\n\n\n

d) <\/strong>24;<\/p>\n\n\n\n

e) <\/strong>30.<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Vamos numerar as pessoas e formar um conjunto: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.<\/p>\n\n\n\n

Para esse caso particular de escolhermos apenas duas pessoas, podemos utilizar um racioc\u00ednio mais simples: podemos escolher os dois elementos, sem restri\u00e7\u00e3o, de C(7,2) = 21 maneiras. Entretanto, n\u00e3o nos interessam os seguintes subconjuntos: {1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {6,7}.<\/p>\n\n\n\n

Logo, dos 21 subconjuntos, devemos excluir 6. O total de possibilidades \u00e9 21 – 6 = 15.<\/p>\n\n\n\n

Mas esse racioc\u00ednio n\u00e3o resolveria um problema em que houvesse 10 pessoas e tiv\u00e9ssemos que escolher 4 pessoas n\u00e3o-vizinhas<\/strong>, por exemplo.<\/p>\n\n\n\n

Vamos agora aprender a solu\u00e7\u00e3o geral para esse tipo de problema.<\/p>\n\n\n\n

Queremos formar um subconjunto de dois elementos no qual n\u00e3o h\u00e1 elementos consecutivos. Essa \u00e9 exatamente a situa\u00e7\u00e3o-problema resolvida pelos lemas de Kaplansky. <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Falo no plural \u201clemas\u201d porque o segundo lema de Kaplansky\nconsidera 1 e 7 como sendo consecutivos (basta pensar, por exemplo, que s\u00e1bado\ne domingo s\u00e3o consecutivos).<\/p>\n\n\n\n

Na nossa quest\u00e3o da FGV, 1 e 7 n\u00e3o s\u00e3o consecutivos e, portanto,\nser\u00e1 a situa\u00e7\u00e3o-problema do Primeiro Lema de Kaplansky.<\/p>\n\n\n\n

O racioc\u00ednio desenvolvido em 1943 por Kaplansky (Irving\nKaplanky, matem\u00e1tico canadense) \u00e9 o seguinte: marcaremos com um sinal \u201c+\u201d os elementos\ndo conjunto que far\u00e3o parte do subconjunto e marcaremos com o sinal \u201c\u2013\u201c os elementos\nque n\u00e3o far\u00e3o parte do subconjunto.<\/p>\n\n\n\n

Por exemplo, o subconjunto {1, 3} seria representado por + \u2013\n+ \u2013 \u2013 \u2013 \u2013.<\/p>\n\n\n\n

O subconjunto {4, 5}, que n\u00e3o \u00e9 um subconjunto v\u00e1lido para o\nnosso problema, seria representado por \u2013 \u2013 \u2013 + + \u2013 \u2013.<\/p>\n\n\n\n

Para formar um subconjunto de 2 elementos n\u00e3o-consecutivos,\ndevemos colocar 2 sinais \u201c+\u201d e 5 sinais \u201c\u2013\u201c em fila, sem que haja dois sinais +\njuntos.<\/p>\n\n\n\n

Para tanto, vamos come\u00e7ar dispondo os  5 sinais \u201c\u2013\u201c com espa\u00e7os vazios entre eles (os espa\u00e7os vazios ser\u00e3o representados por chaves.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Observe que h\u00e1 5 sinais \u201c\u2013\u201c e 6\nespa\u00e7os vazios onde podemos colocar os sinais de \u201c+\u201d.<\/p>\n\n\n\n

Assim, h\u00e1 6 espa\u00e7os vazios e devemos escolher 2 para colocar\nos sinais de \u201c+\u201d. Como a ordem dos espa\u00e7os vazios n\u00e3o importa, ent\u00e3o isso pode\nser feito de:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

A resposta da quest\u00e3o \u00e9 15.<\/p>\n\n\n\n

Gabarito: A<\/strong><\/p>\n\n\n\n

No caso geral, o conjunto original possui n elementos. Queremos\nformar subconjuntos de p elementos. Logo, teremos p sinais \u201c+\u201d e n \u2013 p sinais\nde \u201c\u2013\u201c.<\/p>\n\n\n\n

Ao dispor os n \u2013 p sinais \u201c\u2013\u201c, teremos n \u2013 p + 1 espa\u00e7os\nvazios para distribuir os sinais de \u201c+\u201d.<\/p>\n\n\n\n

Logo, temos n \u2013 p + 1 espa\u00e7os e devemos escolher p deles\npara distribuir os sinais de \u201c+\u201d, o que pode ser feito de<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Esse racioc\u00ednio \u00e9 exatamente o Primeiro\nLema de Kaplansky, que pode assim ser enunciado:<\/p>\n\n\n\n

O n\u00famero de subconjuntos de p elementos de {1, 2, 3, …, n} nos quais n\u00e3o h\u00e1 elementos consecutivos \u00e9 dado por:<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Se voc\u00ea entendeu o racioc\u00ednio desenvolvido, n\u00e3o precisar\u00e1 decorar a f\u00f3rmula acima.<\/p>\n\n\n\n

Vamos fazer mais um exemplo:<\/p>\n\n\n\n

Guilherme Neves dar\u00e1 aulas em tr\u00eas dias\ndiferentes na primeira semana de outubro de 2019. De quantos modos Guilherme\npode escolher os dias das aulas se ele n\u00e3o quer dar aulas em dias consecutivos?<\/p>\n\n\n\n

a) 10<\/p>\n\n\n\n

b) 20<\/p>\n\n\n\n

c) 35<\/p>\n\n\n\n

d) 42<\/p>\n\n\n\n

e) 210<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Perceba que, como estamos nos referindo \u00e0 primeira semana de determinado m\u00eas, o primeiro e o \u00faltimo dia da semana n\u00e3o s\u00e3o consecutivos.<\/p>\n\n\n\n

S\u00e3o 7 dias na primeira semana de outubro. Guilherme dar\u00e1 aula\nem 3 dias. Logo, teremos 3 sinais \u201c+\u201d e 4 sinais \u201c\u2013\u201c.<\/p>\n\n\n\n

Vamos colocar os 4 sinais \u201c\u2013\u201c e destacar os espa\u00e7os vazios\nem que podemos distribuir os sinais de \u201c+\u201d.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Temos 5 espa\u00e7os vazios e devemos escolher\n3 para colocar os sinais de \u201c+\u201d. Logo, o total de maneiras \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Gabarito: A<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pois bem, at\u00e9 agora nunca vi uma quest\u00e3o\nenvolvendo o segundo lema de Kaplansky, mas vai que…<\/p>\n\n\n\n

Segundo Lema de Kaplansky<\/h2>\n\n\n\n

Vamos agora considerar que 1 e n s\u00e3o consecutivos\nno conjunto {1, 2, …, n}. Isso \u00e9 bem comum em quest\u00f5es envolvendo calend\u00e1rios.\nPor exemplo, o 31 de dezembro e 1 de janeiro s\u00e3o consecutivos, s\u00e1bado e domingo\ns\u00e3o dias consecutivos, etc.<\/p>\n\n\n\n

O Segundo Lema de Kaplansky diz que o n\u00famero\nde subconjuntos com p elementos do conjunto {1, 2, 3, …, n}, em que 1 e n s\u00e3o\nconsiderados consecutivos, \u00e9 igual a<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

A f\u00f3rmula acima \u00e9 um pouco trabalhosa de ser demonstrada (a demonstra\u00e7\u00e3o pode ser encontrada no livro An\u00e1lise Combinat\u00f3ria e Probabilidade da Sociedade Brasileira de Matem\u00e1tica). <\/p>\n\n\n\n

N\u00e3o vale a pena memorizar essa f\u00f3rmula, pois a rela\u00e7\u00e3o custo-benef\u00edcio \u00e9 p\u00e9ssima: nunca vi cair em prova (at\u00e9 agora).<\/p>\n\n\n\n

Por isso, vou ensinar o racioc\u00ednio da demonstra\u00e7\u00e3o para que voc\u00ea n\u00e3o precise memorizar a f\u00f3rmula.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Exemplo: O professor Paulo Bilynskyj\ndecidiu praticar Crossfit 3 vezes por semana. De quantas maneiras Paulo pode\nescolher os dias de treino, se ele n\u00e3o quer praticar Crossfit em dias\nconsecutivos?<\/p>\n\n\n\n

a) 5<\/p>\n\n\n\n

b) 6<\/p>\n\n\n\n

c) 7<\/p>\n\n\n\n

d) 8<\/p>\n\n\n\n

e) 9<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Situa\u00e7\u00e3o t\u00edpica do Segundo Lema de Kaplansky, pois, como a atividade ser\u00e1 feita periodicamente, s\u00e1bado e domingo (\u00faltimo dia e primeiro dia da semana) s\u00e3o consecutivos.<\/p>\n\n\n\n

Vamos considerar que Domingo = 1,\nSegunda-feira = 2, …, S\u00e1bado = 7. Assim, temos o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6,\n7}.<\/p>\n\n\n\n

Na situa\u00e7\u00e3o, 1 e 7 s\u00e3o consecutivos. Paulo precisa escolher 3 n\u00fameros n\u00e3o consecutivos. Pelo Segundo Lema de Kaplansky, isso pode ser feito de:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

E como \u00e9 o racioc\u00ednio sem decorar f\u00f3rmula?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pois bem, o segundo lema de Kaplansky \u00e9, na verdade, o primeiro\nlema aplicado duas vezes.<\/p>\n\n\n\n

Vamos separar em dois casos: o elemento 1 foi escolhido e o elemento\n1 n\u00e3o foi escolhido.<\/p>\n\n\n\n

  • Subconjuntos nos quais figura o elemento\n1.<\/li><\/ul>\n\n\n\n

    Se o elemento 1 foi escolhido, n\u00e3o podemos escolher os elementos\n2 e 7, porque s\u00e3o elementos vizinhos ao n\u00famero 1. Assim, devemos escolher 2\nelementos n\u00e3o consecutivos no conjunto {3, 4, 5, 6}.<\/p>\n\n\n\n

    Vamos aplicar o primeiro lema de Kaplansky.<\/p>\n\n\n\n

    Para escolher 2 elementos dentre os 4, devemos ter dois sinais \u201c\u2013\u201c e dois sinais \u201c+\u201d. Os sinais \u201c+\u201d n\u00e3o podem ficar juntos porque os n\u00fameros escolhidos n\u00e3o s\u00e3o consecutivos. Come\u00e7amos fixando os sinais de \u201c\u2013\u201c.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

    Assim, temos 3 espa\u00e7os vazios e devemos escolher 2 deles para colocar os sinais de \u201c+\u201d. Isso pode ser feito de<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n
    • Subconjuntos nos quais n\u00e3o figura o\nelemento 1.<\/li><\/ul>\n\n\n\n

      Nesse caso, precisamos escolher 3 elementos n\u00e3o consecutivos no conjunto\n{2, 3, 4, 5, 6, 7}. Vamos aplicar novamente o primeiro lema de Kaplansky.<\/p>\n\n\n\n

      Para escolher 3 elementos dentre os 6, devemos ter tr\u00eas sinais \u201c\u2013\u201c e tr\u00eas sinais \u201c+\u201d. Os sinais \u201c+\u201d n\u00e3o podem ficar juntos porque os n\u00fameros n\u00e3o s\u00e3o consecutivos. Come\u00e7amos fixando os sinais de \u201c\u2013\u201c.<\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Assim, temos 4 espa\u00e7os vazios e devemos escolher 3 deles para colocar os sinais de \u201c+\u201d. Isso pode ser feito de <\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      O total de maneiras \u00e9 3 + 4 = 7 maneiras.<\/p>\n\n\n\n

      Como voc\u00eas podem ver, o Segundo Lema de\nKaplansky \u00e9, na verdade, o primeiro lema aplicado duas vezes: uma vez escolhendo\no n\u00famero 1 e outra vez excluindo o n\u00famero 1.<\/p>\n\n\n\n

      Gabarito: C<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Espero que tenham gostado.<\/p>\n\n\n\n

      Um forte abra\u00e7o,<\/p>\n\n\n\n

      Guilherme Neves<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Fala, pessoal! Tudo bem? Antes de come\u00e7armos o artigo de hoje, deixo o convite para voc\u00eas seguirem o meu perfil no instagram @profguilhermeneves. Recentemente escrevi um artigo sobre uma quest\u00e3o da FCC que envolvia o conceito de Permuta\u00e7\u00f5es Ca\u00f3ticas. Clique aqui para ler o artigo. 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