{"id":424218,"date":"2019-09-21T11:51:15","date_gmt":"2019-09-21T14:51:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=424218"},"modified":"2019-09-21T11:51:17","modified_gmt":"2019-09-21T14:51:17","slug":"dica-sensacional-de-analise-combinatoria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/dica-sensacional-de-analise-combinatoria\/","title":{"rendered":"Dica Sensacional de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria"},"content":{"rendered":"\n
Fala, pessoal!<\/p>\n\n\n\n
Tudo bem?<\/p>\n\n\n\n
An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/strong> \u00e9 um dos assuntos mais importantes em provas de Matem\u00e1tica e Racioc\u00ednio L\u00f3gico. \u00c9 um assunto com poucas f\u00f3rmulas, mas que causa temor em muitos estudantes pela dificuldade em algumas quest\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n
Neste artigo vou apresentar um conceito muito legal que certamente te ajudar\u00e1 a ganhar tempo em muitas quest\u00f5es de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria.<\/p>\n\n\n\n
Parti\u00e7\u00f5es<\/h2>\n\n\n\n
Muita aten\u00e7\u00e3o neste t\u00f3pico, pois \u00e9 uma excelente ferramenta em An\u00e1lise Combinat\u00f3ria que te ajudar\u00e1 ganhar tempo em muitas quest\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n
Vamos primeiro entender o que \u00e9 uma parti\u00e7\u00e3o de um conjunto.\nNormalmente, nos problemas de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, teremos conjuntos de\npessoas. Vou explicar ent\u00e3o com um conjunto de pessoas para ficar mais f\u00e1cil.<\/p>\n\n\n\n
Imagine que temos um conjunto formado por 7 pessoas. Se\nqueremos dividir esse conjunto de 7 pessoas em subconjuntos disjuntos (que n\u00e3o\npossuem elemento em comum), obteremos uma parti\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Por exemplo, imagine que queremos dividir esse conjunto de 7 pessoas em 3 subconjuntos: um com 3 pessoas, outro com 2 pessoas e outro com 2 pessoas. Pronto, acabamos de obter uma parti\u00e7\u00e3o<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Exemplo de parti\u00e7\u00e3o<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Se a ordem entre esses conjuntos \u00e9 relevante, a parti\u00e7\u00e3o \u00e9\nchamada de parti\u00e7\u00e3o ordenada<\/strong>. Se a ordem n\u00e3o \u00e9 relevante, a parti\u00e7\u00e3o \u00e9\ndenominada parti\u00e7\u00e3o n\u00e3o-ordenada<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
As parti\u00e7\u00f5es ordenadas s\u00e3o as\nmais importantes em quest\u00f5es de concursos<\/strong>. Por qu\u00ea?<\/p>\n\n\n\n
Porque normalmente as pessoas de cada subconjunto ter\u00e3o\nfun\u00e7\u00f5es espec\u00edficas na situa\u00e7\u00e3o-problema de tal forma que a ordem dos conjuntos\nser\u00e1 relevante.<\/p>\n\n\n\n
Exemplo: H\u00e1 7 engenheiros envolvidos em um projeto. Queremos\ndividir os 7 engenheiros em 2 subconjuntos: 4 deles ser\u00e3o os respons\u00e1veis pelo\nplanejamento do projeto e 3 ser\u00e3o respons\u00e1veis pela execu\u00e7\u00e3o do projeto. Temos\naqui uma parti\u00e7\u00e3o ordenada, porque cada subconjunto tem um papel diferente na\nsitua\u00e7\u00e3o-problema.<\/p>\n\n\n\n
Por outro lado, h\u00e1 situa\u00e7\u00f5es em que a ordem dos conjuntos\nn\u00e3o \u00e9 relevante (parti\u00e7\u00f5es n\u00e3o-ordenadas). Nunca vi essa situa\u00e7\u00e3o em prova\nde concurso<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Exemplo: H\u00e1 10 crian\u00e7as que v\u00e3o jogar futebol. Dividir as crian\u00e7as em dois times de 5. Aqui temos uma parti\u00e7\u00e3o n\u00e3o-ordenada, porque a ordem dos times n\u00e3o \u00e9 relevante.<\/p>\n\n\n\n
Parti\u00e7\u00f5es ordenadas<\/h2>\n\n\n\n
Observe a seguinte quest\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
(CESPE 2019\/COGE-CE)<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Em determinado \u00f3rg\u00e3o, sete servidores foram designados para\nimplantar novo programa de atendimento ao p\u00fablico. Um desses servidores ser\u00e1 o coordenador\ndo programa, outro ser\u00e1 o subcoordenador, e os demais ser\u00e3o agentes\noperacionais.<\/p>\n\n\n\n
Nessa situa\u00e7\u00e3o, a quantidade de maneiras distintas de\ndistribuir esses sete servidores nessas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 igual a<\/p>\n\n\n\n
a) 21. \nb) 42. \nc) 256. \nd) 862. \ne) 5.040.<\/p>\n\n\n\n
O problema acima ilustra perfeitamente a situa\u00e7\u00e3o de uma\nparti\u00e7\u00e3o ordenada. H\u00e1 7 pessoas e queremos dividi-las em 3 subconjuntos: um\ndeles com 1 pessoa (o coordenador), outro com 1 pessoa (o subcoordenador) e\noutro com 5 pessoas (os agentes operacionais).<\/p>\n\n\n\n
Normalmente, os livros resolvem esse tipo de problema assim:<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 7 pessoas dispon\u00edveis e precisamos escolher 1 coordenador. Podemos escolher de <\/p>\n\n\n\n
Sobraram 6 pessoas dispon\u00edveis. Devemos agora escolher 1 subcoordenador. Podemos escolher de <\/p>\n\n\n\n
Como h\u00e1 ordem entre os subconjuntos<\/strong> (1 deles \u00e9 o\ncoordenador, o outro \u00e9 o subcoordenador, e os restantes s\u00e3o agentes\noperacionais), a parti\u00e7\u00e3o \u00e9 ordenada. N\u00e3o estou dizendo que existe ordem entre\nos elementos dos subconjuntos. Existe ordem entre os subconjuntos!<\/p>\n\n\n\n
Pelo princ\u00edpio fundamental da contagem, o total de possibilidades \u00e9 <\/p>\n\n\n\n
Poder\u00edamos tamb\u00e9m ter come\u00e7ado escolhendo os agentes\noperacionais.<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 7 pessoas dispon\u00edveis e precisamos escolher 5 agentes operacionais. Podemos escolher de <\/p>\n\n\n\n
Sobraram 2 pessoas. Dessas duas pessoas, precisamos escolher 1 coordenador. Podemos escolher de <\/p>\n\n\n\n
Sobrou 1 pessoa. Precisamos escolher o subcoordenador. Podemos escolher de <\/p>\n\n\n\n
Pelo princ\u00edpio fundamental da contagem, podemos distribuir os servidores nas fun\u00e7\u00f5es de maneiras.<\/p>\n\n\n\n
Vamos agora aprender o pulo do gato: a grande dica que te far\u00e1\nganhar muito tempo nessas quest\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 7 pessoas e queremos dividi-las em 3 subconjuntos com 1 pessoa (o coordenador), 1 pessoa (o subcoordenador) e 5 pessoas (os agentes operacionais). Vamos simbolizar essa quantidade de parti\u00e7\u00f5es da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n
A express\u00e3o acima \u00e9 conhecida como \u201ccoeficiente multinomial\u201d.<\/p>\n\n\n\n
Pois bem, como calculamos? \u00c9 muito f\u00e1cil. A resposta ser\u00e1 uma fra\u00e7\u00e3o. No numerador, colocamos o fatorial de 7, que \u00e9 o fatorial do conjunto original de pessoas. No denominador, colocamos os fatoriais das quantidades de elementos dos subconjuntos (fatoriais de 1, 1, e 5).<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Muito f\u00e1cil, n\u00e3o?<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n<\/figure>\n\n\n\n
Vamos resolver outros exemplos para por em pr\u00e1tica e para que voc\u00ea perceba o poder desse m\u00e9todo.<\/p>\n\n\n\n
Exerc\u00edcios<\/h2>\n\n\n\n
(CESPE 2014\/PMCE)<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Considerando que um grupamento de 60 policiais militares\nem que haja 15 mulheres e 45 homens seja dividido em 10 equipes de 6 militares\npara monitorar determinada \u00e1rea, julgue o item subsequente.<\/p>\n\n\n\n
Se as 2 primeiras equipes formadas forem constitu\u00eddas apenas por mulheres, ent\u00e3o o n\u00famero de maneiras distintas de escolher os membros dessas equipes ser\u00e1 igual a <\/p>\n\n\n\n
Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Vamos primeiro resolver da forma\n\u201ctradicional\u201d utilizando combina\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 15 mulheres e devemos escolher 6\npara a primeira equipe. Em seguida, sobram 9 mulheres das quais devemos\nescolher 6 para a segunda equipe.<\/p>\n\n\n\n
Observe que queremos colocar 6 mulheres\nna primeira equipe e 6 mulheres na segunda equipe. Como o conectivo usado \u00e9\n\u201ce\u201d, devemos multiplicar as quantidades.<\/p>\n\n\n\n
O total de maneiras para escolher os membros dessa equipe \u00e9<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 15 mulheres e vamos dividir em dois grupos\nde 6 mulheres. Observe que sobraram 3 mulheres. Essas 3 mulheres formam um\nterceiro subconjunto. Assim, na verdade, estamos dividindo as 15 mulheres em 3\nsubconjuntos: dois subconjuntos com 6 mulheres e um terceiro com 3 mulheres.<\/p>\n\n\n\n
Sempre que sobrarem pessoas, voc\u00ea deve juntar a \u201csobra\u201d em um \u00faltimo subconjunto.<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Gabarito: Certo.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
(CESPE 2018\/PM-MA)<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Uma opera\u00e7\u00e3o policial ser\u00e1 realizada com uma equipe de seis\nagentes, que t\u00eam prenomes distintos, entre eles Andr\u00e9, Bruno e Caio. Um agente\nser\u00e1 o coordenador da opera\u00e7\u00e3o e outro, o assistente deste; ambos ficar\u00e3o na\nbase m\u00f3vel de opera\u00e7\u00f5es nas proximidades do local de realiza\u00e7\u00e3o da opera\u00e7\u00e3o.\nNessa opera\u00e7\u00e3o, um agente se infiltrar\u00e1, disfar\u00e7ado, entre os suspeitos, em\nreuni\u00e3o por estes marcada em uma casa noturna, e outros tr\u00eas agentes, tamb\u00e9m\ndisfar\u00e7ados, entrar\u00e3o na casa noturna para prestar apoio ao infiltrado, caso\nseja necess\u00e1rio.<\/p>\n\n\n\n
A respeito dessa situa\u00e7\u00e3o hipot\u00e9tica, julgue o item seguinte.<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 mais de 100 maneiras distintas de estruturar, com os seis agentes, a equipe que realizar\u00e1 a opera\u00e7\u00e3o policial.<\/p>\n\n\n\n
Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 6 agentes dispon\u00edveis. Um ser\u00e1 o coordenador, o outro o assistente, o\noutro o infiltrado, e os outros 3 ser\u00e3o agentes disfar\u00e7ados.<\/p>\n\n\n\n
Assim, precisamos dividir o conjunto de 6 agentes em 4 subconjuntos com as seguintes quantidades de elementos: 1, 1, 1 e 3. Como cada conjunto tem um papel distinto no problema (um \u00e9 coordenador, o outro \u00e9 o assistente, e assim por diante), ent\u00e3o vamos calcular o total de parti\u00e7\u00f5es ordenadas.<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Gabarito: Certo<\/strong><\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
(CESPE 2015\/MPOG)<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Determinado \u00f3rg\u00e3o p\u00fablico \u00e9 composto\npor uma diretoria geral e quatro secretarias; cada secretaria \u00e9 formada por\ntr\u00eas diretorias; cada diretoria tem quatro coordena\u00e7\u00f5es; cada coordena\u00e7\u00e3o \u00e9\nconstitu\u00edda por cinco divis\u00f5es, com um chefe e sete funcion\u00e1rios subalternos em\ncada divis\u00e3o. <\/p>\n\n\n\n
A respeito desse \u00f3rg\u00e3o p\u00fablico, julgue\nos itens seguintes, sabendo que cada executivo e cada funcion\u00e1rio subalterno s\u00f3\npode ocupar um cargo nesse \u00f3rg\u00e3o. <\/p>\n\n\n\n
Se, entre onze servidores previamente\nselecionados, forem escolhidos: sete para compor determinada divis\u00e3o, um para\nchefiar essa divis\u00e3o, um para a chefia da coordena\u00e7\u00e3o correspondente, um para a\ndiretoria e um para a secretaria, haver\u00e1 menos de 8.000 maneiras distintas de\nse fazer essas escolhas.<\/p>\n\n\n\n
Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 11\nservidores e vamos dividi-los em subconjuntos (parti\u00e7\u00f5es). Cada subconjunto tem\numa fun\u00e7\u00e3o espec\u00edfica. Logo, queremos calcular a quantidade de parti\u00e7\u00f5es\nordenadas.<\/p>\n\n\n\n
Os subconjuntos ter\u00e3o as seguintes quantidades de elementos: 7, 1, 1, 1, 1. Logo, o n\u00famero de parti\u00e7\u00f5es ordenadas \u00e9<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Gabarito: Certo<\/strong><\/p>\n\n\n\n
(CESPE 2013\/IBAMA)\n<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Para melhorar a fiscaliza\u00e7\u00e3o, evitar o desmatamento\nilegal e outros crimes contra o meio ambiente, 35 fiscais homens e 15 fiscais\nmulheres ser\u00e3o enviados para a regi\u00e3o Norte do Brasil. Desses fiscais, uma\nequipe com 20 fiscais ser\u00e1 enviada para o Par\u00e1, outra com 15 para o Amazonas e\numa outra com 15 para Rond\u00f4nia.<\/p>\n\n\n\n
Considerando que qualquer um desses 50\nfiscais pode ser designado para qualquer uma das tr\u00eas equipes, julgue os itens\nseguintes.<\/p>\n\n\n\n
A quantidade de maneiras distintas que essas tr\u00eas equipes podem ser formadas \u00e9 o n\u00famero representado por (50 \u2013 20)! \u00d7 (30 \u2013 15)! \u00d7 15!.<\/li>
Se cada equipe tiver exatamente cinco mulheres, a quantidade de maneiras distintas que essas equipes podem ser formadas \u00e9 o n\u00famero representado por .<\/li><\/ol>\n\n\n\n
Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Item 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 50 fiscais. Vamos dividi-los em 3 subconjuntos com as seguintes quantidades de elementos: 20, 15 e 15. O total de parti\u00e7\u00f5es ordenadas \u00e9<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
O item 1 est\u00e1 errado.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Item 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 15 mulheres e vamos dividi-las em tr\u00eas\ngrupos de 5.<\/p>\n\n\n\n
H\u00e1 35 homens e vamos dividi-los em tr\u00eas\ngrupos: um dos grupos ter\u00e1 15 (Par\u00e1), o outro grupo ter\u00e1 10 (Amazonas) e o outro\nter\u00e1 10 (Rond\u00f4nia).<\/p>\n\n\n\n
O total de parti\u00e7\u00f5es ordenadas ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Podemos cortar 15!. Al\u00e9m disso, perceba que:<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
Logo, a resposta do problema \u00e9:<\/p>\n\n\n\n
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
O item trocou o expoente de 5! por 2. Logo, o item 2 est\u00e1 errado.<\/p>\n\n\n\n
Espero que tenham gostado das dicas sobre parti\u00e7\u00f5es ordenadas.<\/p>\n\n\n\n
Fala, pessoal! Tudo bem? An\u00e1lise Combinat\u00f3ria \u00e9 um dos assuntos mais importantes em provas de Matem\u00e1tica e Racioc\u00ednio L\u00f3gico. \u00c9 um assunto com poucas f\u00f3rmulas, mas que causa temor em muitos estudantes pela dificuldade em algumas quest\u00f5es. Neste artigo vou apresentar um conceito muito legal que certamente te ajudar\u00e1 a ganhar tempo em muitas quest\u00f5es […]<\/p>\n","protected":false},"author":739,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"post_tipo":"article","footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"tax_estado":[],"class_list":["post-424218","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-cursos-e-concursos"],"acf":[],"yoast_head":"\n
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