{"id":1447330,"date":"2024-09-01T14:07:00","date_gmt":"2024-09-01T17:07:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=1447330"},"modified":"2024-08-23T12:48:13","modified_gmt":"2024-08-23T15:48:13","slug":"angulos-arcos-cordas-circunferencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/angulos-arcos-cordas-circunferencia\/","title":{"rendered":"\u00c2ngulos, arcos e cordas na circunfer\u00eancia"},"content":{"rendered":"\n

Ol\u00e1, pessoal! Hoje falaremos sobre os \u00e2ngulos, arcos e cordas na circunfer\u00eancia. Esse tema \u00e9 bastante comum em geometria plana e muito cobrado em concursos e vestibulares, notadamente para carreiras militares. Abordaremos tamb\u00e9m algumas defini\u00e7\u00f5es e f\u00f3rmulas importantes que se relacionam a essa mat\u00e9ria. Alertamos, apenas, que os aspectos ser\u00e3o tratados de maneira bem objetiva visando marcar o X<\/strong> no lugar certo.<\/p>\n\n\n\n

Conceitos de \u00e2ngulos, arcos e cordas.<\/h2>\n\n\n\n

Inicialmente, n\u00e3o podemos fugir dos conceitos.<\/p>\n\n\n\n

\u00c2ngulo, em geometria plana, \u00e9 a Uni\u00e3o de 2 (dois) segmentos de reta a partir de um ponto comum. O \u00c2ngulo est\u00e1 presente em qualquer forma geom\u00e9trica (tri\u00e2ngulo, c\u00edrculo, quadrado etc.). Na circunfer\u00eancia, o \u00e2ngulo pode ser assim representado:<\/p>\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n

Nessa imagem, podemos definir, por oportuno, o raio da circunfer\u00eancia que \u00e9 a dist\u00e2ncia que une o centro \u00e0 borda. No caso, o raio \u00e9 tanto AD quando AC.<\/p>\n\n\n\n

J\u00e1 o arco(DC) \u00e9 a proje\u00e7\u00e3o que essas semirretas t\u00eam na borda da circunfer\u00eancia. Ou mais facilmente, \u00e9 uma parte da circunfer\u00eancia determinada por 2(dois) pontos distintos.<\/p>\n\n\n\n

No caso da imagem acima, \u03b2 seria o \u00e2ngulo (destacado em vermelho) e DC seria o arco. A regi\u00e3o sombreada \u00e9 chamada de Setor Circular. <\/p>\n\n\n\n

A corda, nobres, \u00e9 a uni\u00e3o de 2(dois) pontos na circunfer\u00eancia atrav\u00e9s de um segmento de reta. Vejamos sua representa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

\"\u00c2ngulos,<\/figure>\n\n\n\n

S\u00e3o cordas os seguimentos CD e EF.<\/p>\n\n\n\n

Aplica\u00e7\u00f5es com \u00e2ngulos, arcos e cordas na circunfer\u00eancia<\/h2>\n\n\n\n

Passados os conceitos iniciais, vamos analisar algumas situa\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas envolvendo \u00e2ngulos e arcos.<\/p>\n\n\n\n

De in\u00edcio, pessoal, todos devem ter em mente que a circunfer\u00eancia possui um total de 360\u00ba, certo?!. Visando facilitar a representa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica, criou-se o radiano (\u03c0), que \u00e9 a raz\u00e3o entre o comprimento de um arco e seu raio.<\/strong><\/em> A partir da convers\u00e3o de \u00e2ngulos, tem-se que \u03c0 = 180\u00ba. Assim, qualquer \u00e2ngulo pode ser escrito em radiano. Logo, n\u00e3o se assuste se aparecer esse s\u00edmbolo na sua prova. Vamos para mais alguns exemplos:
2\u03c0 = 360\u00ba; 3\u03c0\/2 = 270\u00ba e assim, sucessivamente.<\/p>\n\n\n\n

Pois bem, vamos a algumas situa\u00e7\u00f5es especificas.<\/p>\n\n\n\n

Como saber o tamanho do arco ou do \u00e2ngulo em graus?<\/mark><\/strong> Nesse caso, vale a seguinte rela\u00e7\u00e3o: \u03b1= \u03b2\/2 ou \u03b1 = DC\/2.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Assim, por defini\u00e7\u00e3o, o \u00e2ngulo \u03b1 mede \u03b2\/2, da mesma forma, \u03b1 vale o tamanho do arco DC\/2. Se por exemplo, \u03b1 = 30\u00ba, \u03b2 = 60\u00ba e o arco DC=60\u00ba. Como falamos, nobres, isso pode ser demonstrado matematicamente, mas n\u00e3o o faremos aqui. Por\u00e9m, vejam que o \u00e2ngulo \u03b2 se localiza no centro <\/mark><\/strong>da circunfer\u00eancia e isso facilita demais os c\u00e1lculos.<\/p>\n\n\n\n

Vejamos, entretanto, se o \u00c2ngulo for exc\u00eantrico <\/mark><\/strong>interno ou externo.<\/p>\n\n\n\n

Como representa\u00e7\u00e3o do \u00e2ngulo exc\u00eantrico interno<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

\"\u00c2ngulos,<\/figure>\n\n\n\n

Nesse caso, por defini\u00e7\u00e3o, o valor de \u03b1 ser\u00e1 o comprimento dos dois arcos divididos por 2. Ou seja, \u03b1 = (EC + FD)\/2.<\/p>\n\n\n\n

Se o \u00c2ngulo for exc\u00eantrico <\/mark>externo<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

\"\u00c2ngulos,<\/figure>\n\n\n\n

O valor do \u00e2ngulo C(em verde) \u00e9 a diferen\u00e7a do tamanho dos arcos, ou seja: C = (DB \u2013 AE)\/2<\/p>\n\n\n\n

Rela\u00e7\u00f5es importantes com as Cordas<\/h3>\n\n\n\n

Com o conceito de \u201cCordas\u201d temos uma importante rela\u00e7\u00e3o que pode ajudar muito na resolu\u00e7\u00e3o de quest\u00f5es. \u00c9 a chamada Pot\u00eancia de Ponto interio<\/em><\/strong>r.<\/p>\n\n\n\n

Quando duas cordas se cruzam(no ponto P), geram-se 4 semirretas em que temos a seguintes forma e defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

\"\u00c2ngulos,<\/figure>\n\n\n\n

No caso, tem-se que PC*PD = PF*PE<\/mark><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Aplica\u00e7\u00e3o dos conhecimentos na circunfer\u00eancia<\/h2>\n\n\n\n

Quest\u00e3o n\u00ba 01<\/h3>\n\n\n\n

Vamos aplicar os conhecimentos sobre \u00c2ngulos, arcos e cordas na circunfer\u00eancia numa quest\u00e3o do Instituto Tecnol\u00f3gico da Aeron\u00e1utica:<\/p>\n\n\n\n

(ITA – 2006 – 1\u00aa fase)<\/p>\n\n\n\n

Seja E um ponto externo a uma circunfer\u00eancia. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunfer\u00eancia nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunfer\u00eancia intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, ent\u00e3o GF vale<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong>: De in\u00edcio, \u00e9 sempre bom representar a quest\u00e3o por meio do desenho.<\/p>\n\n\n\n

\"secantes<\/figure>\n\n\n\n

Inicia-se com a Pot\u00eancia de Ponto externa<\/strong> E.<\/p>\n\n\n\n

EB*EA = EC*ED<\/p>\n\n\n\n

5*12 = 4*(GC + 7), Logo, GC = 8<\/p>\n\n\n\n

Ap\u00f3s, aplica-se a potencia de ponto interna<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

GA.GF = GC.GD<\/p>\n\n\n\n

6*GF = 8*3<\/p>\n\n\n\n

GF = 4 (gabarito)<\/p>\n\n\n\n

Quest\u00e3o n\u00ba 02<\/h3>\n\n\n\n

Mais uma quest\u00e3o, agora cobrada na prova de admiss\u00e3o \u00e0 Escola Naval em 2004<\/a><\/p>\n\n\n\n

O quadril\u00e1tero MNPQ est\u00e1 inscrito em uma circunfer\u00eancia de centro O e raio 6cm, conforme a figura acima. Sabe-se que QM =3cm, MN =8cm e que a diagonal MP passa por O . Se E \u00e9 um segmento QN, tal que ME \u00e9 perpendicular a QN. Ent\u00e3o o valor do per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo QME, em cm, \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\"\u00c2ngulos,<\/figure>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong>; Pessoal, vejam que o arco referente ao \u00e2ngulo Q do tri\u00e2ngulo MQN \u00e9 igual ao arco do \u00e2ngulo P do tri\u00e2ngulo MPN. Assim, o tri\u00e2ngulo MQE e o tri\u00e2ngulo MPN s\u00e3o semelhantes, de modo que eles guardam rela\u00e7\u00e3o de proporcionalidade entre seus lados. Assim, temos:<\/p>\n\n\n\n

ME\/MN = QM\/MP<\/p>\n\n\n\n

Obs. Na semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, seguimos a mesma ordem, ou seja, lado oposto ao \u00e2ngulo de um triangulo, dividido pelo lado oposto do \u00e2ngulo do outro triangulo. E assim por diante…<\/p>\n\n\n\n

ME\/8 =3\/12,<\/p>\n\n\n\n

Logo ME = 2<\/p>\n\n\n\n

Para encontrarmos o outro lado do tri\u00e2ngulo MQE \u00e9 s\u00f3 aplicar o teorema de Pit\u00e1goras, pois o comando da quest\u00e3o citou que ME \u00e9 perpendicular a QN. Logo, forma-se um \u00e2ngulo de 90\u00ba.<\/p>\n\n\n\n

Desta forma, 32 <\/sup>= 22<\/sup>+ QE2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

QE =  \u221a5<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

O Per\u00edmetro (soma dos lados do tri\u00e2ngulo) = 2 + 3 + <\/strong><\/em> \u221a5  <\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

Per\u00edmetro = 5 + <\/strong><\/em> \u221a5<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

Percebemos que essa \u00faltima quest\u00e3o explorou outros conhecimentos al\u00e9m da semelhan\u00e7a dos tri\u00e2ngulos pelos arcos iguais.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

Conclus\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n

\u00c9 isso, pessoal! Apresentamos alguns conceitos iniciais sobre \u00e2ngulos, arcos e cordas na circunfer\u00eancia. Os conhecimentos acima s\u00e3o base para diversos outros que envolvem circunfer\u00eancia. Aos poucos, vamos trazendo conte\u00fados mais avan\u00e7ados a fim de que auxiliem a todos na aprova\u00e7\u00e3o que tanto desejam.<\/p>\n\n\n\n

Bons Estudos.<\/p>\n\n\n\n

Quer estar antenado aos pr\u00f3ximos concursos previstos? Confira nossos artigos!<\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Concursos Abertos<\/mark><\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n

Concursos 2024<\/mark><\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ol\u00e1, pessoal! Hoje falaremos sobre os \u00e2ngulos, arcos e cordas na circunfer\u00eancia. Esse tema \u00e9 bastante comum em geometria plana e muito cobrado em concursos e vestibulares, notadamente para carreiras militares. Abordaremos tamb\u00e9m algumas defini\u00e7\u00f5es e f\u00f3rmulas importantes que se relacionam a essa mat\u00e9ria. 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