{"id":1424677,"date":"2024-08-09T08:00:00","date_gmt":"2024-08-09T11:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=1424677"},"modified":"2024-07-08T18:02:06","modified_gmt":"2024-07-08T21:02:06","slug":"transformacoes-trigonometricas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/transformacoes-trigonometricas\/","title":{"rendered":"Transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas"},"content":{"rendered":"\n

Fala, pessoal! Hoje iremos falar sobre as transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas, notadamente o Seno, o Cosseno e a Tangente. Essas transforma\u00e7\u00f5es nos auxiliam, e muito, na resolu\u00e7\u00e3o de quest\u00f5es. Ademais, esse tipo de conhecimento se torna mais importante em vestibulares e em concursos de admiss\u00e3o \u00e0s For\u00e7as Armadas(Ex\u00e9rcito, Marinha e Aeron\u00e1utica).<\/p>\n\n\n\n

Conceitos iniciais<\/h2>\n\n\n\n

Inicialmente, o seno, o cosseno e a tangente representam importantes fun\u00e7\u00f5es no mundo da matem\u00e1tica, principalmente no campo da trigonometria.<\/mark><\/strong> Essas rela\u00e7\u00f5es nos auxiliam, a partir de um dado \u00e2ngulo, a encontrarmos valores e comportamentos de determinadas vari\u00e1veis. Todavia, o seno, cosseno e tangente apresentam diferentes vis\u00f5es quando aplicados em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo ou quando aplicados no c\u00edrculo trigonom\u00e9trico.<\/p>\n\n\n\n

No tri\u00e2ngulo, o seno de um \u00e2ngulo qualquer X equivale ao cateto(lado) oposto<\/strong><\/mark> ao \u00e2ngulo em refer\u00eancia dividido pela hipotenusa(cujo \u00e2ngulo correspondente \u00e9 o de 90\u00ba). Logo, Sen X = Cateto oposto\/Hipotenusa.<\/strong><\/em> <\/p>\n\n\n\n

Por sua vez, o cosseno equivale ao cateto(lado) a<\/strong><\/mark>djacente<\/mark><\/strong> ao \u00e2ngulo em refer\u00eancia dividido pela hipotenusa. Logo, Cos X <\/strong>= Cateto adjacente\/Hipotenusa.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

Por fim, a tangente(Tg) de um \u00e2ngulo X \u00e9 o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Ou, noutras palavras, Tg X = Sen X\/ Cos X<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Obs. Na imagem acima considerem que o \u00e2ngulo X corresponde ponto C do tri\u00e2ngulo.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Fun\u00e7\u00e3o Seno<\/h3>\n\n\n
\"rela\u00e7\u00f5es<\/figure>\n\n\n

Vejam que aqui temos uma fun\u00e7\u00e3o sen x<\/strong>. Cada valor de X, com a sua imagem no c\u00edrculo(pontos B,C, D, E, F e G) possui um correspondente na reta vertical(eixo das ordenadas grifado em vermelho<\/mark><\/strong>). Nobres, n\u00e3o custa lembrar que s\u00edmbolo(\u03c0) corresponde ao valor de 180\u00ba.<\/p>\n\n\n\n

Assim, na imagem acima, vemos que quando o X vale (\u03c0)\/6 ou 30\u00ba, o seu seno \u00e9 0,5 ou 1\/2.<\/p>\n\n\n\n

Fun\u00e7\u00e3o Cosseno<\/h3>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

A fun\u00e7\u00e3o cosseno tem a estrutura bem parecida com a fun\u00e7\u00e3o seno. Ocorre que o correspondente ao \u00e2ngulo no c\u00edrculo tem seu equivalente no eixo das abcissas(eixo horizontal). <\/p>\n\n\n\n

Por conseguinte, veja na imagem que o cosseno de (\u03c0)\/3 ou 60\u00ba \u00e9 justamente 0,5 ou 1\/2.<\/p>\n\n\n\n

Transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas importantes<\/h2>\n\n\n\n

Notadamente, essas transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas t\u00eam por objetivo pr\u00e1tico transformar \u00e2ngulos cujo seno, cosseno e tangente s\u00e3o desconhecidos em \u00e2ngulos not\u00e1veis(30\u00ba, 45\u00ba, 60\u00ba)<\/a>, que possuem valores bem conhecidos.<\/p>\n\n\n\n

Adi\u00e7\u00e3o<\/h3>\n\n\n\n

Passados esse conceitos iniciais, vamos \u00e0s transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas mais famosas.<\/p>\n\n\n\n

Antes, por\u00e9m, vamos considerar que: Sen = Seno, Cos = Cosseno e Tg = Tangente, ok?!<\/p>\n\n\n\n

A primeira f\u00f3rmula \u00e9 a da adi\u00e7\u00e3o<\/mark><\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

Cos (a + b) = Cos a. cos b – Sen a . Sen b.<\/p>\n\n\n\n

Ex.<\/strong> Qual o cosseno de 75\u00ba?<\/p>\n\n\n\n

Cos(75\u00ba) = Cos (45\u00ba + 30\u00ba) = Cos 45\u00ba . Cos 30\u00ba – Sen 45\u00ba . Sen 30\u00ba<\/p>\n\n\n\n

Assim, temos: \u221a2\/2. \u221a3\/2 – \u221a2\/2 . 1\/2, Logo, Cos 75\u00ba = (\u221a<\/strong>6 – \u221a<\/strong>2)\/4<\/p>\n\n\n\n

Com a fun\u00e7\u00e3o seno, temos:<\/p>\n\n\n\n

Sen(a + b) = Sena . Cos b + Sen b . Cos a<\/p>\n\n\n\n

Ex.<\/strong> Qual o seno de 105\u00ba?<\/p>\n\n\n\n

Sen 105\u00ba = Sen (60\u00ba + 45\u00ba)<\/p>\n\n\n\n

Logo, Sen (60\u00ba + 45\u00ba)= Sen 60\u00ba . Cos 45\u00ba + Sen 45\u00ba . Cos 60\u00ba.<\/p>\n\n\n\n

Isso perfaz (\u221a<\/strong>6 + \u221a<\/strong>2)\/4.<\/p>\n\n\n\n

Subtra\u00e7\u00e3o<\/h3>\n\n\n\n

Do mesmo modo, podemos transformar \u00e2ngulos a partir de opera\u00e7\u00e3o de subtra\u00e7\u00e3o<\/mark><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Da fun\u00e7\u00e3o cosseno, temos:<\/p>\n\n\n\n

Cos (a – b) = Cos a. Cos b + Sen a . Sen b<\/p>\n\n\n\n

Da fun\u00e7\u00e3o seno, temos:<\/p>\n\n\n\n

Sen(a – b) = Sen a . Cos b – Sen b . Cos a<\/p>\n\n\n\n

Fun\u00e7\u00e3o tangente<\/h2>\n\n\n\n

Pessoal, s\u00f3 a t\u00edtulo de complementa\u00e7\u00e3o do conhecimento, vamos apresentar as transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas da fun\u00e7\u00e3o tangente tamb\u00e9m.<\/p>\n\n\n\n

Na adi\u00e7\u00e3o, temos:<\/p>\n\n\n\n

tg(a + b) = (tg a + tg b)\/(1 – tg a . tg b)<\/p>\n\n\n\n

Na subtra\u00e7\u00e3o, por sua vez:<\/p>\n\n\n\n

tg(a – b) = (tg a – tg b)\/(1 + tg a . tg b)<\/p>\n\n\n\n

Vejam que o que difere a adi\u00e7\u00e3o da subtra\u00e7\u00e3o em TODAS as transforma\u00e7\u00f5es s\u00e3o os jogos de sinais (mais e menos). Ent\u00e3o, muita aten\u00e7\u00e3o!<\/p>\n\n\n\n

Ex.<\/strong> Tangente de 75\u00ba<\/p>\n\n\n\n

tg 75\u00ba = tg(45\u00ba + 30\u00ba)<\/p>\n\n\n\n

tg(45\u00ba + 30\u00ba) = (1 + \u221a<\/strong>3\/3)\/ (1 – 1.\u221a<\/strong>3\/3)<\/p>\n\n\n\n

tg 75\u00ba = 2 + \u221a<\/strong>3.<\/p>\n\n\n\n

Aplica\u00e7\u00e3o dos conhecimentos sobre fun\u00e7\u00f5es<\/h2>\n\n\n\n

Para finalizar, vamos comentar uma quest\u00e3o bem interessante que caiu no concurso da Controladoria Geral da Uni\u00e3o – Cargo de T\u00e9cnico<\/a> – aplicada pela FGV(Funda\u00e7\u00e3o Get\u00falio Vargas) em 2022:<\/p>\n\n\n\n

Um avi\u00e3o percorria a trajet\u00f3ria reta XY da figura abaixo, de X para Y, quando o piloto percebeu turbul\u00eancias \u00e0 frente. Para evit\u00e1-las fez, no ponto A, um giro na trajet\u00f3ria para a esquerda e percorreu 10 km. No ponto B fez um giro de 53o para a direita e, ao percorrer mais 10 km, percebeu que tinha atingido o ponto C da trajet\u00f3ria inicial.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Dados:
Use o necess\u00e1rio,<\/p>\n\n\n\n

sen37\u00b0=0,6
cos37\u00b0=0,8 e \u221a<\/strong>5 = 2,24<\/p>\n\n\n\n

A dist\u00e2ncia entre os pontos A e C \u00e9, aproximadamente?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o: <\/h3>\n\n\n\n

Caros concurseiros<\/em>, essa quest\u00e3o apresenta um bom n\u00edvel de cobran\u00e7a e aborda diversos temas. <\/p>\n\n\n\n

Primeiramente veja que se o \u00e2ngulo externo mede 53\u00ba, o \u00e2ngulo interno ao tri\u00e2ngulo mede 127\u00ba(180\u00ba – 53\u00ba). <\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, para descobrirmos a dist\u00e2ncia de A<\/strong> at\u00e9 C<\/strong>, podemos aplicar a l<\/strong><\/mark>ei dos cossenos<\/mark><\/strong> nesse tri\u00e2ngulo! Nobres, j\u00e1 detalhamos essa LEI dos Cossenos em artigo anterior<\/a> (Nobres, perdoe-me pela gafe, mas nesse artigo eu citei\/inverti incorretamente os valores do seno e cosseno de 90\u00ba, bem como o de180\u00ba- Assim, o correto seno de 90\u00ba \u00e9 1 e o cosseno de 90\u00ba \u00e9 0. J\u00e1 o seno de 180\u00ba \u00e9 0 e o cosseno \u00e9 -1<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

Vamos chamar a dist\u00e2ncia AC de X. <\/p>\n\n\n\n

Logo, X2<\/sup><\/em>= 102<\/sup><\/em> + 102<\/sup><\/em>\u22122.10.10.cos127\u00ba.<\/p>\n\n\n\n

Por\u00e9m aqui temos um problema: Como saber o Cosseno de 127\u00ba??<\/em><\/p>\n\n\n\n

Para isso, vamos usar o conhecimento adquirido aqui acerca de transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas. Veja que 127\u00ba = 90\u00ba + 37\u00ba. Olhem que a quest\u00e3o forneceu o Sen 37\u00ba(Bingo!!!).<\/p>\n\n\n\n

Vamos aplicar a transforma\u00e7\u00e3o do Cosseno:<\/p>\n\n\n\n

Cos 127\u00ba = Cos (90\u00ba + 37\u00ba) = Cos 90\u00ba . Cos 37\u00ba – Sen 37\u00ba . Sen 90\u00ba<\/p>\n\n\n\n

Sabe-se que 90\u00ba \u00e9 um \u00e2ngulo not\u00e1vel que possui Cosseno = 0 e seno = 1<\/p>\n\n\n\n

Assim, Cos(90\u00ba + 37\u00ba) = 0 . Cos 37\u00ba – 0,6 . 1<\/p>\n\n\n\n

Cos(90\u00ba + 37\u00ba) = – 0,6<\/p>\n\n\n\n

A\u00ed, \u00e9 s\u00f3 “correr para o abra\u00e7o”<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

X2<\/sup><\/em>= 102<\/sup><\/em> + 102<\/sup><\/em>\u22122.10.10.cos127\u00ba:<\/p>\n\n\n\n

X2<\/sup><\/em>= 102<\/sup><\/em> + 102<\/sup><\/em>\u22122.10.10.(-0,6)<\/p>\n\n\n\n

X2<\/sup><\/em> = 320<\/p>\n\n\n\n

X = \u221a<\/strong>320, que fatorando vale: 8\u221a<\/strong>5<\/p>\n\n\n\n

Como foi dado na quest\u00e3o que \u221a<\/strong>5 = 2,24, temos que a dist\u00e2ncia AC = 8.2,24 = 17,92km(GABARITO).<\/p>\n\n\n\n

Conclus\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n

Ent\u00e3o \u00e9 isso, nobres. Chegamos ao fim de mais um artigo que abordou, desta vez, as transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas e o qu\u00e3o s\u00e3o importantes para a resolu\u00e7\u00e3o de quest\u00f5es. Fizemos quest\u00e3o de mostrar em detalhes as fun\u00e7\u00f5es do seno e cosseno pois s\u00e3o, de longe, as mais cobradas. Esperamos que tenha sido de grande valia.<\/p>\n\n\n\n

Bons Estudos!<\/p>\n\n\n\n

Quer estar antenado aos pr\u00f3ximos concursos previstos? Confira nossos artigos!<\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Concursos Abertos<\/mark><\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n

Concursos 2024<\/mark><\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Fala, pessoal! Hoje iremos falar sobre as transforma\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas, notadamente o Seno, o Cosseno e a Tangente. Essas transforma\u00e7\u00f5es nos auxiliam, e muito, na resolu\u00e7\u00e3o de quest\u00f5es. Ademais, esse tipo de conhecimento se torna mais importante em vestibulares e em concursos de admiss\u00e3o \u00e0s For\u00e7as Armadas(Ex\u00e9rcito, Marinha e Aeron\u00e1utica). 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