{"id":1420264,"date":"2024-07-14T11:00:00","date_gmt":"2024-07-14T14:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/?p=1420264"},"modified":"2024-07-02T22:12:33","modified_gmt":"2024-07-03T01:12:33","slug":"divisao-polinomios-concursos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/divisao-polinomios-concursos\/","title":{"rendered":"Divis\u00e3o de Polin\u00f4mios para concursos"},"content":{"rendered":"\n<p>Ol\u00e1, nobres guerreiros. Vamos explanar neste artigo um pouco sobre a divis\u00e3o de polin\u00f4mios para concursos. Esse tema \u00e9 muito cobrado em concursos militares e em cargos espec\u00edficos como o de professor.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-conceito-de-polinomios\">Conceito de polin\u00f4mios<\/h2>\n\n\n\n<p>Por defini\u00e7\u00e3o, polin\u00f4mios s\u00e3o express\u00f5es matem\u00e1ticas que possuem n\u00fameros, inc\u00f3gnitas e expoentes inteiros e positivos(normalmente). <\/p>\n\n\n\n<p>Essa defini\u00e7\u00e3o pode n\u00e3o ter ajudado muito, ent\u00e3o vamos a um exemplo: x<sup><strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\">4<\/mark><\/strong><\/sup>\u00a0&#8211; 4x<sup>3<\/sup>\u00a0+ 4x<sup>2<\/sup>\u00a0&#8211; 4x +3.<\/p>\n\n\n\n<p>A partir da express\u00e3o, ao olharmos o maior expoente do polin\u00f4mio, <strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\">no caso acima seria o <\/mark><\/strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"><strong>4<\/strong><\/mark>, temos que esse polin\u00f4mio \u00e9 de grau 4 e possui 4 solu\u00e7\u00f5es(ra\u00edzes).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-divisao-de-polinomios\">Divis\u00e3o de polin\u00f4mios<\/h2>\n\n\n\n<p>Os polin\u00f4mios, pessoal, apresentam as mesmas propriedades b\u00e1sicas da matem\u00e1tica, quais sejam: adi\u00e7\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o e divis\u00e3o. Por\u00e9m, a &#8220;queridinha&#8221; em concursos \u00e9 a divis\u00e3o de polin\u00f4mios. Assim, as quest\u00f5es de maneira geral apresentar\u00e3o um polin\u00f4mio de grau 3 ou superior e te solicitar\u00e3o as ra\u00edzes(solu\u00e7\u00f5es) ou a divis\u00e3o deste polin\u00f4mio por outro.<\/p>\n\n\n\n<p>Para isso, vamos discorrer sobre dois teoremas que v\u00e3o te ajudar: Teorema de D\u2019Alembert e o dispositivo de Briot-Ruffini.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-teorema-de-d-alembert\">Teorema de D\u2019Alembert<\/h3>\n\n\n\n<p>Por esse teorema, qualquer polin\u00f4mio dividido por (x-<strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-orange-color\">a<\/mark><\/strong>) que possua resto igual a zero ter\u00e1 <strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-orange-color\">&#8220;a&#8221;<\/mark><\/strong> como um de suas ra\u00edzes. Vamos usar nosso exemplo:<\/p>\n\n\n\n<p>Queremos saber se P(X) = x<sup>4<\/sup>&nbsp;&#8211; 4x<sup>3<\/sup>&nbsp;+ 4x<sup>2<\/sup>&nbsp;&#8211; 4x +3 \u00e9 divis\u00edvel por (x &#8211; 3). Para isso, onde houver x no polin\u00f4mio principal, iremos substituir por 3. Logo, temos:<\/p>\n\n\n\n<p>P(3) = 3<sup>4<\/sup>\u00a0\u2013 4 . 3<sup>3<\/sup>\u00a0+ 4 . 3<sup>2<\/sup>\u00a0\u2013 4 . 3+3<br \/>P(3) = 81 \u2013 4 . 27 + 4 . 9 \u2013 12 + 3<br \/>P(3) = 0<\/p>\n\n\n\n<p>Conclu\u00edmos, portanto, que 3 \u00e9 uma das ra\u00edzes do polin\u00f4mio acima, vez que P(3)=0<\/p>\n\n\n\n<p>Esse teorema serve para evitar que se proceda \u00e0 divis\u00e3o do polin\u00f4mio por (x &#8211; a) de maneira completa. Assim, economiza-se tempo na hora da prova. Ent\u00e3o, se ao substituir o &#8220;x&#8221; no polin\u00f4mio e sobrar resto zero, temos uma das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o. Refor\u00e7ando que o divisor precisa se do tipo (x &#8211; a), ok??! Veja como ficaria se f\u00f4ssemos fazer uma divis\u00e3o completa:<\/p>\n\n\n<figure class=\"wp-block-post-featured-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"1920\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-scaled.jpg\" class=\"attachment-post-thumbnail size-post-thumbnail wp-post-image\" alt=\"Divis\u00e3o de polin\u00f4mios para concursos\" style=\"object-fit:cover;\" srcset=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-scaled.jpg 2560w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-300x225.jpg 300w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-1024x768.jpg 1024w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-768x576.jpg 768w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-1536x1152.jpg 1536w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-2048x1536.jpg 2048w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-610x458.jpg 610w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25194242\/divisao-de-polinomios-para-concursos-150x113.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/figure>\n\n\n<p><em>Obs. Multiplica-se cada item do lado esquerdo da imagem por (x &#8211; 3) de forma a ir eliminando os coeficientes de maior grau.<\/em><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-dispositivo-de-briot-ruffini\">Dispositivo de Briot-Ruffini<\/h3>\n\n\n\n<p>Pessoal, de maneira pr\u00e1tica, usamos o dispositivo de Briot-Ruffini(semelhante \u00e0 imagem acima) para reduzir o grau de um polin\u00f4mio e permitir, assim, resolvermos as quest\u00f5es de maneira mais direta(aplicando a f\u00f3rmula de <em>Bhaskara<\/em>, por exemplo). Detalharemos melhor a seguir.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-com-polinomios-briot-ruffini\">Quest\u00e3o com polin\u00f4mios &#8211; Briot-Ruffini<\/h4>\n\n\n\n<p>Vamos utilizar o exemplo de uma quest\u00e3o que foi cobrada na <a href=\"https:\/\/espcex.eb.mil.br\/index.php\/provas-anteriores\">prova da Escola Preparat\u00f3ria de Cadetes do Ex\u00e9rcito aplicada no ano de 2022<\/a>:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"815\" height=\"278\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25200051\/polinomios.jpg\" alt=\"Divis\u00e3o de Polin\u00f4mios para concursos\" class=\"wp-image-1420308\" srcset=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25200051\/polinomios.jpg 815w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25200051\/polinomios-300x102.jpg 300w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25200051\/polinomios-768x262.jpg 768w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25200051\/polinomios-610x208.jpg 610w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25200051\/polinomios-150x51.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 815px) 100vw, 815px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong>: De in\u00edcio, veja que foi dado que 1 \u00e9 raiz da equa\u00e7\u00e3o. Se 1 \u00e9 raiz, podemos substituir o x por 1 e igualarmos a equa\u00e7\u00e3o a zero. Fica assim:<\/p>\n\n\n\n<p>P(1) = (M + 39)1 + 1<sup>3 <\/sup>\u2013 36 \u2013 14(1<sup>2<\/sup>) = 0<\/p>\n\n\n\n<p>M + 39 + 1 &#8211; 36 &#8211; 14 = 0<\/p>\n\n\n\n<p>M = 10<\/p>\n\n\n\n<p>Com isso, nosso polin\u00f4mio ficaria assim: X<sup>3<\/sup> &#8211; 14X<sup>2<\/sup> + 49X &#8211; 36<\/p>\n\n\n\n<p>Veja que ainda n\u00e3o conseguimos achar as outras duas ra\u00edzes devido ao grau da equa\u00e7\u00e3o ser 3. Contudo, podemos aplicar Briot-Ruffini e reduzirmos o grau do polin\u00f4mio vez que temos uma raiz j\u00e1 dada no enunciado(1).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"768\" src=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-1024x768.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1420317\" srcset=\"https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-1024x768.jpg 1024w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-300x225.jpg 300w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-768x576.jpg 768w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-1536x1152.jpg 1536w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-610x458.jpg 610w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini-150x113.jpg 150w, https:\/\/dhg1h5j42swfq.cloudfront.net\/2024\/06\/25204046\/briot-ruffini.jpg 1920w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Na primeira parte da imagem, detalhamos o local de cada item. Na parte de baixo da imagem, inserimos os valores em que o <strong>1<\/strong> <em>solit\u00e1rio <\/em>do lado esquerdo \u00e9 a raiz dada. Veja que o primeiro coeficiente do polin\u00f4mio, no caso 1 (1X<sup>3<\/sup>) \u00c9 REPETIDO na parte de baixo<strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\">(seta azul)<\/mark><\/strong>. A partir da\u00ed, multiplica-se cada quociente pela raiz e depois soma-se com o termo correspondente. No caso, 1 x 1 + (-14) = -13. Da mesma forma, -13(1) + 49 = 36, e, por sua vez, 36x(1) \u2013 36 = 0 (resto da opera\u00e7\u00e3o)<\/p>\n\n\n\n<p>Votando \u00e0 quest\u00e3o, observem que conseguimos transformar o polin\u00f4mio de grau 3 em grau 2. A\u00ed, \u00e9 s\u00f3 aplicar a f\u00f3rmula de <em>Bhaskara<\/em> que iremos encontrar 4 e 9 como ra\u00edzes. Logo, o gabarito da quest\u00e3o \u00e9 a LETRA C, j\u00e1 que 4 e 9 s\u00e3o quadrados perfeitos.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-com-polinomios-teorema-de-d-alembert\">Quest\u00e3o com polin\u00f4mios &#8211; Teorema de D\u2019Alembert<\/h4>\n\n\n\n<p>Por fim, vamos analisar uma quest\u00e3o cobrada no concurso de professor de matem\u00e1tica para a prefeitura de Imperatriz no Maranh\u00e3o aplicada em 2006 pela FSADU (UFMA):<\/p>\n\n\n\n<p id=\"01076634Q-a042939d-083899792ddc\">Ao procurarmos o valor de k, tal que<strong>\u00a0\u2013 2<\/strong>\u00a0seja raiz do polin\u00f4mio\u00a0P(x)=4X<sup>3<\/sup>\u22122X<sup>2<\/sup>+kx\u22122 obtivemos o seguinte dispositivo de Briot \u2013 Ruffini:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.tecconcursos.com.br\/figuras\/fd85df13-4e70-4a9e-8352-6349dfd6ff3e\" alt=\"\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>Coment\u00e1rios<\/strong>: Pela imagem que colocamos acima, sabemos que, se <strong>-2<\/strong> \u00e9 raiz, ent\u00e3o (-42 &#8211; 2k) precisa valer 0(resto). Logo, (-42 &#8211; 2k) = 0, <strong>k = -21(gabarito<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-conclusao\">Conclus\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o \u00e9 isso, nobres. Esperamos que este artigo acerca da divis\u00e3o de polin\u00f4mios para concursos seja \u00fatil na prepara\u00e7\u00e3o de voc\u00eas. Refor\u00e7amos a import\u00e2ncia de realizar exerc\u00edcios para melhor assimila\u00e7\u00e3o do conte\u00fado.<\/p>\n\n\n\n<p>Bons estudos!<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading has-text-align-left\"><strong>Quer estar antenado aos pr\u00f3ximos concursos previstos? Confira nossos artigos!<\/strong><\/h3>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-black-color has-vivid-cyan-blue-background-color has-text-color has-background has-link-color wp-elements-551f893bf1884ebc0947c70f9bd65cf0\"><a href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/concursos-abertos\/\"><strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-black-color\">Concursos Abertos<\/mark><\/strong><\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-black-color has-vivid-cyan-blue-background-color has-text-color has-background has-link-color wp-elements-2bd2f74d16f6d242f8d16e19ba1fbb24\"><a href=\"https:\/\/www.estrategiaconcursos.com.br\/blog\/concursos-2024\/\"><strong><mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-black-color\">Concursos 2024<\/mark><\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ol\u00e1, nobres guerreiros. 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