Questão interessante de matemática FCC

Pessoal, esta aqui é uma questão que me pediram por email e que achei muito interessante.Geralmente, questões desse tipo dão o tempo em que uma torneira,sozinha,enche um tanque, depois dão o tempo em que uma outra torneira faz tal trabalho e pedem o tempo conjunto, o tempo em que as duas juntas enchem o tanque..

Professor,eu não conheço esse tipo de questão não…

Calma!Na verdade, eu havia falado sobre isso num artigo passado,mas posso recordar melhor do que se trata isso.
Existe um tipo de questão que cai muito em prova que é aquela envolvendo o tempo que duas ou mais torneiras levam para juntas encher um tanque. Vou mostrar como é que se resolve tal questão de forma “lusitana” e, logo depois, vou dar um “macete” bem legal que vai facilitar, e muito, a sua vida.

Vejamos a questão abaixo(que não é ainda aquela que me fez escrever este artigo!):

(FCC) Abrindo-se uma torneira A, um reservatório ficará cheio em 3 horas. Abrindo-se a torneira B, encherá o reservatório em 2 horas. Em quanto tempo conseguiremos encher o reservatório caso as duas torneiras sejam abertas simultaneamente?

Resolução:

A idéia é que sempre que quisermos achar o tempo em que duas torneiras enchem um reservatório quando abertas ao mesmo tempo, iremos calcular esse tempo como sendo uma fração em que o numerador será o produto dos tempos e o denominador será a soma. Isso sempre funciona.

Logo, no exemplo acima, o tempo será de

t=2×3/(2+3)=6/5=1,2 hora

Viram como é fácil?

Agora, sei que algumas pessoas já conhecem este tipo de questão e sabem que existem variações do mesmo. Se você acha que este macete não serve para os demais casos, ledo engano, ele serve sim!

Imagine o caso em que temos uma torneira e um sifão. A torneira continuaria sendo responsável por encher o reservatório num dado tempo. Já o sifão seria o responsável pelo esvaziamento do reservatório num dado tempo.

Continuaremos resolvendo esta questão por produto sobre soma dos tempos. Se você conhece física, percebeu que esta fórmula lembra a da associação de resistores em paralelo! Se você nunca viu “mais gordo”, desconsidere o que eu disse.

O que eu quero que você saiba é que quando temos um elemento que é responsável por esvaziar em vez de encher o reservatório, vamos utilizar um número negativo para representar na fórmula este tempo.
Exemplo:

Abrindo-se uma torneira A, um reservatório ficará cheio em 2 horas. No entanto, existe um sifão que esvazia o reservatório em 12 horas. Em quanto tempo conseguiremos encher(ou esvaziar) o reservatório?

Façamos:

t=(-12×2)/(-12+2)=(-24)/(-10)=2,4 horas

Temos que o tempo será de 2,4 horas e que tal tempo será o de enchimento, já que o mesmo apresentou um valor positivo.

Caso tivéssemos encontrado um resultado negativo, teríamos que o resultado final seria o esvaziamento do reservatório.

Bom, na esmagadora maioria das questões dá para resolver dessa maneira.

Só que, na realidade, esse “produto sobre soma” que eu te ensinei é o mesmo que imaginar que o tempo conjunto das  torneiras é dado por:

1/tT = 1/t1 + 1/t2 + 1/t3 + …

Aliás,tal fórmula é, na realidade, a fórmula para encontrarmos o inverso do tempo conjunto…e estamos vendo que,tal tempo,será dado pela soma dos inversos das torneiras em separado…iremos manter aquela convenção de sinais da qual eu falei,ou seja, caso algum tempo seja para esvaziar, teremos que substituir um valor negativo nesta fórmula que eu coloquei ali em cima.

Reparem em como esta expressão é bem mais genérica do que a outra,pois ela servirá para qualquer quantidade de torneiras ou qualquer coisa parecida.Mas o “produto sobre soma” ainda vai te salvar várias vezes,rsss, dado que a maioria das questões só cai com duas torneiras mesmo.

Bom,a tal questão que me enviaram foi a seguinte:

Abrindo completamente 3 torneiras idênticas e de mesma vazão constante, consegue-se encher um tanque de água em 2h e 24 min. dispondo-se de 1 torneira a mais, idêntica às anteriores e também de mesma vazão constante, seria possível encher completamente esse mesmo tanque em:

Resolução:

Chamemos o tempo em que cada uma enche o tanque de t.

O tempo com a qual as três conseguem juntas encher o tanque é
de :

1/ tT = (1 / t )+ (1 / t )+ (1 / t) = 3 / t (o inverso do tempo de trabalho conjunto é a soma dos inversos dos tempos)
Ou seja, t T = t / 3 = 2h 24 min = 2h + (24/60 )h = 2 + 2/5 = 2,4 h

Como t/ 3 = 2,4, temos que t = 3 x 2,4 = 7,2 h

Como uma torneira a mais teremos:

1 / tT = (1 / t )+ (1 / t )+ (1 / t )+ (1/ t) = 4 / t

Logo, tT = t / 4 = 7,2 / 4 = 1,8 h = 1h + 0,8 h = 1h + 0,8 x 60 = 1h 48 min

Gabarito: D

Bom, espero que esta dica seja útil a vocês.

Questões como essas eu resolvo comumente em meus cursos, depois sintam-se à vontade para conferir as minhas aulas demonstrativas!

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